【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章有理数

§1-7有理数大小的比较

【01】在算术里，我们已经知道数可以比较大小。现在我们把数扩充到有理数，是不是所有的有理数也都能够比较大小呢？

【02】我们不妨仍旧从温度计上来研究。零上 5° 与零下 5° 是不是相等的温度呢？如果不相等，那末哪一个温度高呢？零上 5° 与零下 6° 哪一个温度高呢？零下 2° 与零下 1° 哪一个温度高呢？零度与零下 1° 哪一个温度高呢？从温度计上可以看出：零上 5° 与零下 5° 的温度是不相等的，零上 5° 高于零下 5°，零上 5° 也高于零下 6°，零下 2° 则低于零下 1°，零度也高于零下 1°  。

【03】如果把零上的度数用正数来表示，零下的度数用负数来表示，那末上面的结果就是：＋5° ＞－5°，＋5° ＞－6°，－2° ＜－1°，0° ＞ー1°  。

【04】同样，我们也可以从它们在数轴上的对应点的位置来确定有理数的大小：

【05】有理数大小的规定：在水平数轴上表示的两个有理数，如果把向右方向作为正方向，那末，在右边的一个数总比在左边的一个数大。

【06】例如：＋5 ＞－5；＋5 ＞－6，－2 ＜－1；0 ＞－1  。

【07】从数轴上的左右关系，我们又可以清楚地看出：

【08】有理数大小的比较法则：

(ⅰ)任何正数，大于任何负数；

(ⅱ)任何正数，大于零；

(ⅲ)任何负数，小于零；

(ⅳ)两个正数中，绝对值大的那个数较大；

(ⅴ)两个负数中，绝对值大的那个数较小。

山笺||  高等数学中『有理数域的序』的性质

        要比较有理数大小，先要搞明白“有理数域的序”的前因。有理数域的序得自“大于”的概念，必须先有大于的概念，我们才可以定义“小于”【小于——当且仅当b＞a时，a＜b。】，继而才可以归纳出有理数序的性质：（此处“大于”的概念与性质Ⅰ属于公理，不证自明）    

        Ⅰ₁：每一对有理数a与b之间必有且仅有下列关系之一：a＝b，a＞b，a＜b；

        Ⅰ₂（传递性）：若a＞b，b＞c，则a＞c；

        Ⅰ₃（稠密性）：若a＞b，则必存在有理数c，使a＞c且c＞b  。（即必有有理数c位于a、b之间，显然必有有理数c₁位于a、c之间，必有有理数c₂位于a、c₁之间……故a、b之间的有理数有无数个，所以称为稠密性）

【求证】小于也具有传递性，即若已知 a＜b，b＜c，则a＜c  。

【证明】由“小于”的定义【当且仅当b＞a时，a＜b】可知 ：

        a＜b，b＜c即c＞b，b＞a

        又因为Ⅰ₂可知c＞a

        再根据“小于”的定义可得a＜c，此题得证。

例1.比较 3.56 与－8.39 的大小。

【解】3.56 是正数，－8.39 是负数，∵ 任何正数大于任何负数，∴ 3.56＞－8.39（也可以写做－8.39＜3.56）

【注】记号“∵”读做“因为”，“∴”读做“所以”。

例2.比较 0 与－7.8 的大小。

【解】因为任何负数小于零，∴ －7.8＜0（也可以写做 0＞－7.8）

例3.比较－3.56 与－4.07 的大小。

【分析】－3.56 与－4.07 都是负数，先看它们的绝对值。

【解】|－3.56 |＝3.56，|－4.07 |＝4.07，∵ 4.07＞3.56，也就是 |－4.07 |＞|－3.56 |。根据两个负数大小的比较法，绝对值大的负数较小，∴－4.07＜－3.56  。

例4.比较  与 的大小。

【解】，∵ ＜ ；∴ ＞  。

例5.比较下列三个数的大小：＋3，－5，－1  。

【解】在这三个数中，＋3 最大，－1 又比－5 大，∴ ＋3＞－1＞－5  。

【注意】三个数同时比较大小时，书写的次序必须使两个不等号都是“大于号”或者都是“小于号”。所以这一题也可以写做－5＜－1＜＋3  。但下列写法是错误的：－5＜3＞－1，因为这样就看不出－5 与－1 之间的大小了。

习题1-7

1、写出四个大于 0 的整数；写出四个小于 0 的整数。

2、写出所有小于 7 的正整数；写出所有大于－5 的负整数。

3、写出所有大于 －3 而小于＋4 的整数，并在数轴上把它们表示出来。这些数里面，有几对相反的数？

4、比较下列各组数的大小，用关系符号“＜”连接起来：

【解法举例：(1) 7＜10】

5、比较下列各组数的大小，用关系符号“＞”连接起来：

6、比较下列各组数的大小：

(1) 0，，（用关系符号＜连接起来）；

(2) ，，（用关系符号＞连接起来）。

7、比较下列各题中两个数的大小：

(1)＋5，|－6 |；(2) |＋5 |，|－7 |；(3) |－7 |，|－2 |；

(4)－|＋5 |，－|－7 |；(5)－(－6)，－|－6 |  。

8、写出绝对值大于 4 的三个正数和三个负数；写出绝对值小于 3 的三个正数和三个负数。

9、写出绝对值等于 2 的一个正数和一个负数。

10、在数轴上指出绝对值等于 5 的数，这样的数有几个？

11、写出绝对值小于 4 的所有整数，这样的数里有几组是相反的数？

12、写出绝对值大于 4 而小于 8 的所有整数。