久美子教你学数学——宇治川七桥问题

经典吹学教材——黄前数学课本（一年级）

第二讲 从京都宇治七桥问题谈起

故事发生在21世纪的京都府宇治市。流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多。在这个美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？

对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功。直到2015年，日本著名的数学家黄前才证明了这个问题的不可能性。

黄前解决这个问题的方法非常巧妙。她认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这几座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小。因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。

所谓一笔画问题，就是从图上一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次。为了叙述方便，我们把与奇数条边相连的结点称为奇点，把与偶数条边相连的结点称为偶点。

黄前发现，假设一个图可以一笔画出，则对于并非起点或终点的中间结点X，无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必须从另一条边离开X。这样与X连接的边一定成对出现，所以X必为偶点。更进一步地，假如一个图能一笔画出并回到原点，则它的每个结点所连接的边都必须成对出现，即每个点都是偶点。

在七桥问题中存在两个奇点，因此黄前断言，这个图虽然可以一笔画出，但无法回到原点。也就是说，一个游人没法不重复地走遍宇治川沿岸的七座桥并回到起点。更进一步地，黄前在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔画的问题，给出了下面的

黄前定理：

1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可由任意偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

2.凡是只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

3.其他情况的图都不能一笔画成。

下面我们就来研究黄前定理的具体应用：

例1：一个吹吹人到宇治圣地巡礼。对于他列出的几种打卡计划，请说明他能否不走回头路地走遍所有打卡点。如果能，请说明能否回到出发地。

（1）京阪宇治站、平等院、十三重石塔（位于塔之岛）、宇治神社；

（2）尽可能地走遍宇治七桥，但由于时间原因将较远的白虹桥排除在外；

例2：随着时间的推进，久美子的CP也不断发生着变化。有吹学家用“十年河东，十年河西”来概括这一现象。河东是丽奈的主场，不论是家庭住址还是大吉山都位于宇治川东岸，朝雾桥东头的宇治神社更是与久美子日常见面的地方。河西则是秀一的主场。不但他与久美子家的公寓在宇治川西岸，喜撰桥更是他牵手表白的地方。

（1）你是否同意上述看法？请说明理由。如果不同意，请举出动画中秀久在宇治川东岸活动、高黄在宇治川西岸活动的反例。

（2）假如你是高黄党，并且了解到丽奈与久美子十指相扣看烟花的位置就在喜撰桥西侧桥头。你的圣地巡礼计划中包含了这个地点，但是不打算从喜撰桥上经过。你能否顺利完成巡礼，同时不重复地走遍宇治川剩余六桥呢？

（3）因被落雷击中【注1】，宇治川沿岸的朝雾桥封闭检修。请使用黄前定理回答：一个吹吹人能否在此情况下不走回头路地打卡剩余六桥呢？

注1：剧场版动画《HELLO WORLD》剧情

参考资料：

[1]仁华学校奥林匹克数学课本（小学三年级下册）

[2]宇治市观光协会官网

[3]Windows地图