【PJSK】在段位模式大概打几首歌才能升一个小段位？

前言

        PJSK第一期正式的PVP模式来了！在PVP模式中表现优秀的豆腐人，将获得最高300水晶的豪华奖励！

        某个豆腐人在某小段位的胜率是60%，目前有2个星星。Ta想知道自己大概有多大的可能性，大概还要打多少局PVP才能升段位。怎样解决这个问题？

确定问题

        PJSK的PVP的游戏机制是这样的：

• 完成 3 次试玩定下初始段位后 / 刚刚升段 / 刚刚掉段时，分别有2 / 1 / 4颗星，星数最多为5颗，最少为0颗。初始积分为0。

• 胜利后加一颗星，在已有5颗星的情况下胜利则升段。失败后减一颗星，在已经没有星星的情况下失败则掉段。

• 取得一次FULL COMBO+10分，收歌+20分，对战更高段位的豆腐人胜利+10分，完走前HP归零-30分。满100分可以加一颗星。

        整个模型非常复杂，需要适当简化，比如省略一些发生概率不大的事件、放弃计算精确结果，转而计算上下界等。

        收歌对于大部分豆腐人而言是非常困难的。我们在这里假设玩家的AP率为0。另一方面，也假设每一把PVP都能残血完走，不会有被倒扣30分的情况。

        在PVP中刷出高段位玩家的可能性，我们姑且认为不是很大。况且对于比自己强的对手，胜率能有几何很难说。我们把对战更高段位的豆腐人的情形忽略不计。

        只有FULL COMBO是比较可能发生的事件。如果将FC率考虑在内——比如假设每一次PVP有50%的概率因为FC加10分——将会使问题的解决难度大幅增加。不过我们可以考虑两种极端情况：每一把都不能FC，和每一把都能FC。答案肯定是在这两种情况之间，而且在后文中我们可以看到，这两种情况的差别并不是非常大。

计算方法

        对于“每一把都不能FC”的情形，假设每一局的胜率是，在有颗星星的条件下，最终升段的概率分别是，到升段或掉段为止的PVP场数期望分别是。

        运用一步分析法，我们知道：

        这是一个关于的联立方程。设向量

矩阵

向量

则可以将该联立方程化简为：

        运用Crammer法则即可求解。期望求解思路类似，不再赘述。

        对于“每一把都是FC”的情形，思路类似，我们设每10积分为0.1颗星，胜利+1.1颗星（加到5颗星及以上为止，视同5颗星），失败-0.9颗星（扣到负数为止），设样本空间为，即可仿照上例列式计算。

计算结果

        由于计算量过大，我们采用程序进行计算和作图。

一、在持有0,1,2,3,4,5颗星星的条件下，最终升段的概率

二、直到升段或掉段为止，需要打的PVP场数期望

结论

        如果从一个平均水平，也就是胜率为50%的豆腐人看来：从定段后的起点（2颗星星），或者从掉段再升段（1颗多星星）开始，平均需要10~12轮PVP，以达到升段或掉段两个结果中的一个，而每一次升段的尝试，都只有40~50%的成功率，也就是两三次里能成功一次。

        对于略强于平均水平的豆腐人（设胜率为60%）：从定段后的起点（2颗星星），或者从掉段再升段（1颗多星星）开始，每次升段尝试平均需要10轮PVP，成功率在70%上下。

        对于略弱于平均水平的豆腐人（设胜率为40%）：从定段后的起点（2颗星星），或者从掉段再升段（1颗多星星）开始，每次升段尝试需要9轮PVP左右，但是成功率锐减到15%上下，也就是六次左右才能成功一次。

        以上分析提醒我们，胜率围绕平均值50%轻微的变化，就可能使你为升段需要付出的努力大幅减轻，或者大幅增加。好像我可以？好像离目标已经很近了？其实可能还远……

        新的赛季，祝各位豆腐人量力而行，打出自己的最好状态，最好成绩！■