Strongart教授：Abel范畴局部化的概要小结
下面我们考虑范畴的局部化，它主要是对态射进行操作的，因此本文中把s是范畴A的态射直接记作s∈A，而M是范畴A的对象，则记作M∈Ob（A）.
设A是范畴，A内的乘性闭子集指子范畴S≤A，满足Ob（S）= Ob（A）. 也就是说，它满足条件：
1）对任何M∈Ob（S），id_M∈S.
2）对任何s，t∈S，t·s∈S（若t·s有意义）.
设S是范畴A的乘性闭子集，A关于S的素朴局部化指函子Q：A→A_S，称为局部化函子，满足下列条件：
Loc1：Ob（A_S）= Ob（A）且Q是对象上的恒同。
Loc2：对任何s∈S，Q（s）∈A_S是可逆的（即同构）。
Loc3：设B是范畴且F：A→B是函子，使得对任何s∈S，F（s）∈A_S是可逆的，则存在唯一函子F_S：A_S→B，使得F_S·Q = F：A→B.
可以证明：这样的素朴局部化是唯一存在的。
设S是范畴A的乘性闭子集，A关于S的右Ore局部化指函子Q：A→A_S，称为局部化函子，满足下列条件：
RO1：Ob（A_S）= Ob（A）且Q是对象上的恒同。
RO2：对任何s∈S，Q（s）∈A_S是同构的。
RO3：任何态射q∈A_S都可以表示为q = Q（a）· Q（s）^(-1)，其中a∈A且s∈S.
RO4：设a，b∈A满足Q（a）= Q（b），则存在s∈S，a·s = b·s.
设S是范畴A的乘性闭子集，称S是A的右分母集，若它满足下列两个条件：
RD1：给定a∈A与s∈S，存在b∈A与t∈S，使得a·t=s·b.
RD2：给定a，b∈A与s∈S，满足s·a=s·b，则存在t∈S，a·t=b·t.
可以证明：S是右分母集 iff 存在右Ore局部化Q：A→A_S.
考虑单点范畴，其态射取环结构，则此范畴的右Ore局部化就是环的右Ore局部化。
关于左Ore局部环的情况完全是对称的。
对于加法范畴A，其态射的局部化类（localizing class）S定义为：
LC1：对任何M∈Ob（A），id_M∈S.
LC2：若s，t∈S可复合，则s·t∈S.
LC3a：对任何对f∈A和s∈S，存在g∈A和t∈S，使得s·g = f·t.
LC3b：对任何对f∈A和s∈S，存在g∈A和t∈S，使得g·s = t·f.
LC4：对任何f∈A，存在s∈S，s·f = 0 iff 存在t∈S，f·t = 0.
显然，这里的LC1和LC2来自于乘性闭子集条件，LC3和LC4来自于左右分母集条件，LC4还用到了加法结构。
给定加法范畴A内的局部化类S，可定义态射p与q的加法结构如下：先取表示p = Q（a）· Q（s）^(-1)，q = Q（b）· Q（t）^(-1)，其中a，b∈A且s，t∈S. 用LC3条件“通分”，不妨认为s=t，由此定义：
p+q = Q（a+b）· Q（s）^(-1)
其中Q（a+b）就是 Q（a）+Q（b）的定义。
可以验证，若A是加法范畴，这样定义的加法使得局部化A_S成为加法范畴且局部化函子Q：A→A_S是加法函子。
设Q：A→A_S是加法范畴的局部化函子，则对态射f∈A，下列条件等价：
1） Q（f）=0
2）存在f∈S，使得f·t = 0
3）存在s∈S，使得s·f = 0
由此可得，对M∈Ob（A），下列条件等价：
1）Q（M）= 0（范畴A_S内的零对象）
2）存在N∈Ob（A），使得（0：N→M）∈S
3）存在N∈Ob（A），使得（0：M→N）∈S
对于Abel范畴，我们还要处理核与上核:。
S是Abel范畴A内的局部化类且Q：A→A_S是其局部化函子，首先我们有：对A内任何态射f，若f是单态射（或满态射），则Q（f）也是单态射（或满态射）.
在局部化范畴A_S内。任何态射p都可以表示为p = Q（s）^(-1)Q（a），其中a∈A且s∈S. 就定义其核ker p = ker Q（a）；类似定义上核。这样的定义使得对A内任何态射f，有
Q（ker f）= ker Q（f）且 Q（coker f）= coker Q（f）
由此可得，A_S的任何态射φ都是严格的，即有同构 ：
coker（ker φ）= ker（coker φ）
因此，Abel范畴A对局部化类S的局部化范畴A_S也是Abel范畴，还可以证明其局部化函子Q：A→A_S是正合的。
作为Abel范畴局部化的应用，我们可以重新刻画其商范畴。
设A是Abel范畴且J是其完全子范畴，J称为A的厚子范畴（thick subcategory）（又叫Serre子范畴），若它满足对任何A内的正合列：0→X→Y→Z→0，有Y∈Ob J iff X，Z∈Ob J.
这意味着厚子范畴对子对象、商对象和扩张都是封闭的，因此Abel范畴的厚子范畴还是Abel范畴。
若F：A→B是范畴的函子，则ker F是A的厚子范畴。
若J是A的厚子范畴，可定义A的态射集：
S_J = {f∈A；ker f∈J且coker f∈J}
这样的S_J是A内的局部化类，简记为S，则可定义A关于厚子范畴J的商范畴为A对S的局部化：
A/J = A_S
若Q：A→A_S是其局部化函子，则对任何M∈Ob A，Q（M） = 0 iff M∈Ob J. 这是商结构的典型结论，我们还有其万有性质，一般称为Gabriel定理。
Gabriel定理：设J是Abel范畴A的厚子范畴，则存在Abel范畴A/J与正合函子Q：A→A/J，满足下列万有性质：对任何Abel范畴C与函子F：A→C，满足F（M）= 0，对任何M∈Ob（J），存在唯一函子G：A/J → C，使得F= G·Q.
扩展阅读：
【1】Yekutieli A. Derived categories[M]. Cambridge University Press, 2019. （比较新的导出范畴教材，对范畴局部化有精要介绍，本文主要参考书）
【2】KASHIWARA, MASAKI. Categories and Sheaves[M]. Springer, 2006. （范畴与层论的技术性专著，对范畴局部化有详细介绍）
【3】Milicic D. Lectures on derived categories[J]. Preprint http://www. math. utah. edu/~ milicic/Eprints/dercat. pdf, 2015. （导出范畴的讲义，包括很多导出范畴与三角范畴的技术细节）
【4】Faith C. Algebra: rings, modules and categories I[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （现代代数学的大字典，对Abel商范畴有比较详细的介绍）
【5】Morel S. MAT 540: Homological algebra[J]. 2020. （高观点的同调代数讲义，对范畴局部化有专门的讨论）
