变换

  在上文中得出了对于形如 的函数分析量纲时

  那么对于最熟知的两种变换——拉普拉斯变换和傅里叶变换。

先来看傅里叶变换的一个例子，如果对于进行傅里叶变换则，利用在上文中所提到的

令就可以轻易得到。所以由此可见，在变换中的一些问题，也可以量纲来做分析有一个更加深入的了解。

  因为虚数也是无量纲数，所以在接下来的分析中可以避免出现复数。下文中用拉普拉斯变换来进行分析。   可以发现由于，所以也就是说，经过拉普拉斯变换成功把时域函数转变为复频域函数，变换前的函数称之为原函数，变换后的函数称之为象函数。

  而拉氏变换通常情况下有几种常用的性质，首先可以利用积分是线性变换来证明拉普拉斯变换的线性性质：。其次在对拉氏函数 进行微分或者积分的操作时，也会有对于量纲的平衡。微分性质写作,可以得知由于，所以量纲减少了所以在象函数中需要乘来使两边的量纲保持不变。对于后面的，由于拉普拉斯变换在时域上是使量纲增加了t，所以在处应该是量纲减少了，在求导次数增加时以此类推。证明：，进行分部积分可以得到，由于存在性原理可以得到，因此可以得到的递推式，然后经过n次迭代，就可以得到上述微分性质。

  相应的积分性质写作 由此可以直观看出对于n重积分，量纲就增加了所以在转变为频域时一定要乘 来平衡量纲。证明：由于已经有了上面的微分性质，所以可以考虑一个换元：，显然可以得到初值，带入到上面的结论就可以得到，在经过n次迭代就可以得到积分性质。这也正好对应了上面的微分性质，这样就可以粗略看出对于原函数积分或者微分过后的的象函数，大约就是用乘或除来保持原有量纲平衡并不影响原拉氏变换后的象函数。

  接下来就是时域和频域上的平移和尺度伸缩：1.时移性 2.频移性 3.尺度变换。

1. 时移性表现为原函数变为，即时间上的初始位置平移。证明：令，

2. 频移性表现为原函数变为，即复频域上的变量平移，证明：

3. 尺度变换表现为时域函数的时间缩放映射到复频域函数的变量缩放，证明：

   以上可以发现，平移不改变量纲而伸缩改变长度。所以需要用来平衡掉多出来的量纲。

     而对于熟知的函数最友好的便是多项式函数，所以可以用多项式函数先来举例子。当时，，这样就可以利用n次分部积分法来解得。此时可以轻易的发现所以对进行拉氏变换后必须有这一项，分子上面的阶乘则代表了分部积分的次数。