秘封欺骗名单（3）——拉格朗日力学1

2023-06-23 14:52 作者:早睡早起米斯琪 0人读过 | 我要投稿

1、约束与广义坐标

由运动学分析就能确定的对物体各部分相对位移和相对速度的限制称为约束，其中对物体相对位移的限制被称为几何约束；对物体相对速度的限制称为运动约束，由约束规定的方程称为约束方程。

（1）柔性约束和刚性约束

柔性约束的特征是不能伸长，绳在结构中只能提供拉力不能提供支持力。也就是说，绳的受力只能沿绳且背离绳。

柔性约束中由于两物体的距离不能伸长，因此有不等式

$(x_a-x_b)%5E2%2B(y_a-y_b)%5E2%2B(z_a-z_b)%5E2%20%5Cleq%20l%5E2$

如果A,B间的距离保持不变，则A,B间的约束称为刚性约束。刚性约束的特点是两点间距离不变，满足等式

$%0A(x_a-x_b)%5E2%2B(y_a-y_b)%5E2%2B(z_a-z_b)%5E2%20%3D%20l%5E2$

若AB是刚性杆，则AB之间满足刚性约束方程。刚性杆可以同时提供支持力和拉力，且刚性杆的受力可不沿杆。二力杆的受力一定沿杆且彼此等大反向，只受三个力作用的杆延长线交于一点。

（2）线面约束

对于n个质点组成的质点系，如果在取定的坐标系中第i个质点的矢径为 $r_i$ ,速度为vi，则约束方程的一般形式为

$f(r_1%2Cr_2%2C%5Ccdots%2Cr_n%3Bv_1%2Cv_2%2C%5Ccdots%2Cv_n%3Bt)%5Cleq0$

我们将约束方程中显含时间t的约束称为非稳定约束；不显含时间的称为稳定约束，稳定约束的一般形式方程为

$f(r_1%2Cr_2%2C%5Ccdots%2Cr_n%3Bv_1%2Cv_2%2C%5Ccdots%2Cv_n)%5Cleq0$

几何约束是只对质点的几何分布的约束，因此不显含速度，几何约束方程的一般形式为

$f(r_1%2Cr_2%2C%5Ccdots%2Cr_n%3Bt)%5Cleq0$

此外，带不等号的方程表示约束时单向的，称为单面约束；带等号的方程表示约束是双向的，称为双面约束。

我们把几何约束和可积分成几何约束的运动约束合在一起称为完整约束，不能积分的称为非完整约束。

（3）自由度和广义坐标

为了确定由N个质点组成的系统在空间的位置，需要给定N个矢径，即给定3N个坐标。通常，唯一地确定系统位置所需独立变量地个数称为系统地自由度，N个质点组成地系统的自由度为3N，这些独立的变量可以不是笛卡尔坐标，也可以是角度、距离等。

对于s个自由度的系统，可以完全刻画其位置的s个变量 $q_1%2Cq_2.%5Ccdots%2Cq_s$ ，称为该系统的广义坐标，其导数 $%5Cdot%20q_i$ 称为广义速度。从而有广义势能和广义动能，以及广义动量，我们将在后面给出详细解释。

2、变分与拉格朗日方程

（1）泛函

定理1（实Hahn-Banach定理）设X是实线性空间，p是定义在X上的次线性泛函，X_0是X的实线性子空间，f_0是X_0上的实线性泛函并且满足 $f_0(x)%5Cleq%20p(x))(%5Cforall%20x%20%5Cin%20X_0)$ ，那么X上必有一个实线性泛函f，满足：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26(1)f(x)%5Cleq%20p(x)(%5Cforall%20x%20%5Cin%20X)%5C%5C%0A%26(2)f(x)%3Df_0(x)(%5Cforall%20x%20%5Cin%20X_0)%0A%5Cend%7Baligned%7D$

哈恩巴拿赫定理保证了在给定边界条件下泛函存在的合理性（我也不会证这个定理，看看得了）

下面我们开始讨论变分运算

（2）变分运算

变分可以看作函数微分的推广，记作

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cdelta%20J%26%3DJ%5By_1(x)%5D-J%5By_2(x)%5D%5C%5C%0A%26%3DJ%5By(x)%2B%5Cdelta%20y%5D-J%5By(x)%5D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

这里y(x)是关于x的任意函数，称为宗量。J[y(x)]是由y确定的泛函，δJ是对泛函J[y(x)]的变分。变分运算满足如下规律：

$%5Cdelta%20J%5By(x)%5D%20%5Cmid%20_%7By_0%20(x)%7D%3D0$

只要是能够通过某种操作把一个对象（通常是向量或矩阵）变成数值，都能够被记作泛函，常见的取范数，赋值都可以称为泛函。变分是很有用的运算，可以用来解PDE以及推导有限元的公式，这里最重要的是是求解泛函的极值问题。

（3）欧拉拉格朗日方程

定理2（泛函取极值的必要条件）J[y(x)]在y_0处取极值的必要条件是泛函的一阶变分为0，即:

$%5Cdelta%20J%5By(x)%5D%5Cmid%20_%7By_0(x)%7D%3D0$

这个定理太重要了我们还是证一下。

证明：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AJ%5By(x)%5D%26%3DJ%5By_0(x)%2B%5Cdelta%20y(x)%5D%5C%5C%0A%26%3DJ%5By_0(x)%2B%5Calpha%5Ceta%20(x)%5D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

这里α是小量，η是关于x的任意函数。J在α=0时取到极值，把J看作α为自变量的函数，则

$%5Cleft.%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20J%5By_0(x)%5D%2B%5Calpha%5Ceta(x)%5D%7D%7B%5Cpartial%5Calpha%7D%5Cright%7C_%7B%5Calpha%3D0%7D%3D0$ ,

而

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cdelta%20J%5Cmid%20_%7By_0(x)%7D%26%3DJ%5By_0%2B%5Cdelta%20y(x)%5D-J%5By_0(x)%5D%5C%5C%0A%26%3DJ%5By_0%2B%5Calpha%5Ceta(x)%5D-J%5By_0(x)%5D%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft.%0A%5Cfrac%7B%5Cpartial%20J%5By_0(x)%5D%2B%5Calpha%5Ceta(x)%5D%7D%7B%5Cpartial%5Calpha%7D%5Cright%7C_%7B%5Calpha%3D0%7D%5Calpha%5C%5C%0A%26%3D0%0A%5Cend%7Baligned%7D$

因此定理得证。我们下面从这个定理出发推导欧拉-拉格朗日方程。

定理3（欧拉-拉格朗日方程）泛函 $J%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Df(y(x)%2C%5Cdot%20y(x)%2Cx)%5Cmathrm%7Bd%7Dx$ 取极值的条件是：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20y%7D%3D0$

这个方程称为欧拉-拉格朗日方程。

证明：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cdelta%20J%26%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cdelta%20f(y(x)%2C%5Cdot%20y(x)%2Cx)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cdelta%20y%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20y%7D%5Cdelta%20%5Cdot%20y%2B0)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5C%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cdelta%20y%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20y%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D(%20%5Cdelta%20y)%20%5C%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5C%7B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cdelta%20y%2B0-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20y%7D(%20%5Cdelta%20y)%20%5C%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20y%7D)%5Cdelta%20y%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

由于积分区间为正，被积函数恒为0，由此得到欧拉拉格朗日方程。

3、达朗贝尔原理

（1）虚位移：某固定时刻，体系位形发生的假想的微小变化，满足：

i)瞬时发生

ii)满足约束条件

iii)假想扰动

则称为虚位移，记作δr，且某质点在某时刻的实位移是虚位移中的一个。

（2）虚功：力在虚位移下做的假想功，F为主动力，R为约束力

$%5Cdelta%20W%3D%5Csum_i(F_i%2BR_i)%5Ccdot%20%5Cdelta%20r_i$

理想约束：约束力的虚功为0，即

$%5Csum_iR_i%5Ccdot%20%5Cdelta%20r_i%3D0$

从而

$%5Cdelta%20W%3D%5Csum_iF_i%5Ccdot%20%5Cdelta%20r_i$

虚功原理：主动力的虚功为0时，质点处于平衡状态，即 $%5Cdelta%20W%3D0$

下面我们从虚功原理出发推导拉格朗日力学。

4、拉格朗日力学

广义速度和实际速度有如下关系：

$%5Cdot%7B%5Cvec%7Br_i%7D%7D%3D%5Csum_%5Calpha%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7Br_i%7D%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5Cdot%20q_%5Calpha%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7Br_i%7D%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%0A$

两端对 $%5Cdot%20q_%5Calpha$ 求偏导，由于 $r_i$ 仅是 $t$ 和 $q_%5Calpha$ 的函数，由此得到

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20p_%5Calpha%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D$

由动力学达朗贝尔原理

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A0%26%3D%20%5Csum_i(F_i-m_i%5Cddot%20r_i)%5Ccdot%5Csum_%5Calpha%20%5Cdelta%20r_i%5C%5C%26%3D%5Csum_i(F_i-m_i%5Cddot%20r_i)%5Ccdot%5Csum_%5Calpha%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5Cdelta%20q_%5Calpha%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_i%5B(F_i-m_i%5Cddot%20r_i)%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5D%5Cdelta%20q_%5Calpha%0A%5Cend%7Baligned%7D$

定义 $%5Csum_iF_i%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5Cequiv%20Q_%5Calpha$ 为广义力，

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Csum_im_ir_i%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%26%3DQ_%5Calpha%5C%5C%0A%26%3D%5Csum_im_i%5B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%5Cdot%20r_i)%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5B%5Csum_i%20m_i%20r_i%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5D-%5Csum_im_ir_i%5Ccdot%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5B%5Csum_i%20m_i%20r_i%5Ccdot%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_%5Calpha%7D%5D-%5Csum_im_ir_i%5Ccdot(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D)%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5B%5Csum_i%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20m_ir_i%5E2)%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_%5Calpha%7D%5D-%5Csum_i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_ir_i%5E2)%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D%20$

令 $T%3D%5Csum_i%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_ir_i%5E2$ , $Q_%5Calpha%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T_%5Calpha%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q%7D)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D$ ，而在保守体系下， $F_i%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20r_i%7D$ ,从而

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0AQ_%5Calpha%20%26%3D%5Csum_i%20F_i%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5Csum_i%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20r_i%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20r_i%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5C%5C%0A%26%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20V%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_%5Calpha%7D)-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20T%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%5C%5C%0A%5Cend%7Baligned%7D$

若 $V%3DV(q_%5Calpha)$ ,即V与广义坐标对时间的导数无关，那么

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%EF%BC%88T-V%EF%BC%89%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20(T-V)%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%3D0%0A%5Cend%7Baligned%7D$

再令 $L%3DT-V$ ，这里 $L$ 称为拉格朗日量，是一个标量，于是得到拉格朗日方程（也叫第二类拉格朗日方程）

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20q_%5Calpha%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20q_%5Calpha%7D%3D0%0A%5Cend%7Baligned%7D$

由此我们得到了拉格朗日力学的基本方程，这个方程和牛顿第二定律是等价的，如果你有闲心可以直接从牛顿第二定律一直推导出拉格朗日方程。下面看一个简单的应用。

例：一维弹簧振子，忽略摩擦和弹簧自重，小车质量为M，求运动方程

令 $L%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DM%5Cdot%20x%5E2%2CV%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%2CT%3DL-V%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DM%5Cdot%20x%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2$ ,坐标只有一个x，所以列出拉格朗日方程

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DM%5Cdot%20x%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%EF%BC%89%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DM%5Cdot%20x%5E2-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dkx%5E2%EF%BC%89%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%26%3D0%5C%5C%0AM%5Cddot%20x-kx%26%3D0%0A%5Cend%7Baligned%7D$