『初中可看/圆锥曲线』圆锥曲线及其切线斜率的关系

第一次写专栏，若有错误还请多多包容qwq

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总所周知，圆锥曲线是高中数学中一大难点，在初中数学，二次函数的大题也是不容小觑的。然后，我就对圆锥曲线产生了这样的好奇：

过圆锥曲线上横/纵坐标相等的两点作该圆锥曲线的切线，那么这两条切线的斜率与圆锥曲线方程的各个项的系数是否存在某种关系？

于是乎，我进行了如下研究：

对于任意一条圆锥曲线：

C：px²+qy²+txy+ux+vy+w=0

我们先讨论第一种情况：横坐标相等

在C上选取横坐标相等的两点A、B(如图1－1)

分别过A(a,b1)，B(a,b2)两点作C的切线，分别设斜率为k1、k2，利用点斜式写出解析式：

y1=k1(x－a)+b1

y2=k2(x－a)+b2

下面探究k1、k2与a和b1(b2)的关系。

首先，我们对该圆锥曲线的方程进行隐函数求导(好吧我承认并不是完全的初中可看)，得到：

2pxdx+2qydy+tydx+txdy+udx+vdy=0

移项，得：

dy/dx=－(2px+ty+u)/(2qy+tx+v)

于是我们可以建立一个关于x,y的二元函数f(x,y)(如图1－2)

这样我们就得到了过A、B两点的斜线与其坐标的关系。

下一步就是要求出A、B两点的坐标了，由于x已经给定值为a，那么我们可以把原方程写成关于y的一元二次方程：

qy²+(ta+v)y+(pa²+ua+w)=0

由于A、B的位置关系对二者斜率关系无关，所以不妨让b1根号前为正号的根。

对y求解即可得到：

这样，我们便得到了A、B两点的坐标，只要将a、b1(b2)的值代入f(x,y)就能得到k1和k2的值，接下来就可以探讨k1、k2与圆锥曲线各个项的系数的关系了，这里直接给出结论：

这一点留给读者自行证明。

下面研究纵坐标相等时，k3、k4与各个项的系数的关系：

同样，我们先取两个纵坐标相等的点C、D(如图2－1)

不难看出，纵坐标相等的情况可以看作是原圆锥曲线关于直线y=x对称后的两个横坐标相等的点，因此我们可以跳过计算，就能直接得到k3和k4。

又因为关于y=x对称的两条一次函数P和Q，其斜率kp、kq有如下关系：

于是我们可以得到：

至此，这个问题已经完全解决，我们得到了直线y1、y2的斜率与方程中各个项的系数的关系。

有趣的是，若是把此圆锥曲线的方程左边看作一个二次六项式，则斜率之和仅跟二次项的系数有关，与所有一次项系数及常数项无关。

这一点就超出我的能力范围了，各位感兴趣的可以尝试证明一下（证出来了记得告诉我！）

最后声明一下：本人目前初三，没有系统性的学习过高中的课程，此规律为本人自行独立发现，没有借助任何书籍、文献等的帮助，若高中课程中含有与该专栏所研究内容相似/相同的地方，纯属巧合，并非抄袭。

感谢阅读该专栏，此系列专栏会不定时更新。

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