时间序列：时间序列模型---随机游走过程（The Random Walk Process)

随机游走过程是一种特殊的ARMA序列。从分子运动到股价波动等现象都被建模为随机游走。

随机游走过程是AR(1)序列，而且,时间序列在时刻的值为：

随机游走过程本质上是到当前时间为止所有白噪声项的简单求和。或者说，前一刻的时间序列值加上当前的白噪声。这个白噪声称为innovation。

让我们看一看随机游走的特点。首先，看看随机游走序列的方差。因为从白噪声抽样的值都是不相关的，根据求多项和的方差公式（见附录的公式），有以下式子：

又因为这些随机的白噪声抽样拥有相同的方差，所以，

可见随机游走序列的方差是随着时间的增加而增加的，这种序列称为非平稳（nonstationary)的时间序列。而平稳（stationary)的时间序列的的均值和方差不会随着时间变化而变化。

随机游走过程序列的可预测性：对于时刻的预测值是来自一个均值为此刻的时间序列值，方差为白噪声的正态分布。然而，由于方差随着时间线性增加，我们的预测误差也是随着时间步长增加。

随机游走过程序列对于下一个时刻的值（来自的正态分布的）的平均值的预测值就是此刻的时间序列值。下一时刻的期望就是此刻的时序值的序列称为martingale，随机游走过程可以称为martingale。

随机游走过程呈现强烈的趋势性。其它时间序列经常在均值附近波动，而随机游走过程没有呈现均值回归的现象。随机游走过程通常保持正向（或者负向）的趋势。

附录：用到的一些公式