【趣味数学题】弦函数

2021-07-05 12:27 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

虽然希帕霍斯（Hipparchus of Nicaea， c. 190 – c. 120 BC）发明了三角学，他没有使用现代常用的三角函数：正弦、余弦、正切 [1]。希帕霍斯使用了弦函数（chord, 图 1）。求用正弦函数表示的弦函数的等价式。

[1] 古印度天文学家阿耶波多（Aryabhata, 公元 476 – 550年）发明了正弦和余弦，唐代天文学家僧一行（公元 683 – 727年）计算出第一个正切表。

据图 2,

$chord%20(%5Ctheta)%20%3D%5Csqrt%7B(1-%5Ccos%20%5Ctheta%20)%5E2%2B%5Csin%5E2%E2%81%A1%20%5Ctheta%7D%0A$

$chord%20(%5Ctheta)%20%3D%5Csqrt%7B1-2%5Ccos%20%5Ctheta%20%2B%5Ccos%5E2%20%5Ctheta%20%2B%20%5Csin%5E2%E2%81%A1%20%5Ctheta%7D$

由 $%5Ccos%5E2%E2%81%A1%20%5Ctheta%20%2B%20%5Csin%5E2%E2%81%A1%20%5Ctheta%3D1$ ,

$chord(%CE%B8)%3D%5Csqrt%7B2-2%20%5Ccos%E2%81%A1%20%5Ctheta%7D$

可改写为

$chord(%CE%B8)%3D2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Ccos%E2%81%A1%20%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D$

由 $%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1-%5Ccos%E2%81%A1%20%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%20%3D%20%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%EF%BC%8C$

$chord(%5Ctheta)%3D2%20%5Csin%E2%81%A1%5Cfrac%7B%CE%B8%7D%7B2%7D$