高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易...

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以下笔记为一数所讲总结+本人心得合并+其他补充（补充各种基本的概念+做法大招！！

持续更新中~

我是笔记区UP主Xavze!立志做出最好的笔记!

祝大家高考数学平均120，都上130，能考140，最高150！

“※”表示一数口述很重要的或截图中没有出现的或表意不明的内容。

“///”表示自己总结补充或根据视频内容对一数所说进行扩充。

由于个人原因，选择性听了部分课程，不定时更新。关于我的笔记，有什么记错了的或是建议请直接指出，我将立即更正，谢谢！

目前笔记内容已经超过2万字上限，部分笔记将以图片呈现，图片看不清楚电脑版可以拉大查看，手机版点击查看

涵盖内容：

精华内容：【空间向量】【导数(压轴)】【计数原理】【随机变量】【成对数据统计】

已完结：【新教材提前内容(命题)】【空间向量】【计数原理】【随机变量】【成对数据统计】【导数(压轴)】【不等式】【线性规划】【必修部分二级结论(跳转至相关视频查看)】

未完结：【函数】【解三角形】

其他学科如物理化学笔记请前往个人主页查看，喜欢我的笔记的家人们请关注我一下，谢谢啦~

【新教材提前内容(命题)】

1.充分条件与必要条件

命题的经典形式：若p则q

若+条件，则+结论

真命题就是这个命题是真的成立，字面意思，假命题也一样理解。

箭头：就是表示箭头尾部的命题可以推得箭头指向的命题 。如果这个箭头上画了一个杠，则表示箭头尾部的命题不可以推得箭头指向的命题。

题目的另一种问法，q的什么条件是p？的处理办法★

如果这里搞不清楚，那就可以使用转换的思想，将这个命题改写一下，把它改为p是q的什么条件？这样就能改写到正常常规的认知方式，也就方便做题

涉及到取值范围的题目，通过画图画数轴去做会更加清晰明了

例题辅助理解

2.全称量词与存在量词

命题构成的要素是变量范围和结论。

所以说，如果通过这句话可以推知它是真命题还是假命题，那么就说明这个句子是一个命题，如果无法判断，那么就说明它不是命题。命题一定可以知道真假！

3.命题的否定

全称量词的否定是存在量词。

在改写逆否命题时，一定要注意量词后的条件不可以改变！！！不可以！！！

改写逆否命题，只需要改变量词符号和结论中的等号或不等关系，不可以改变条件。

具体例子见一数举例

4.逻辑用语习题课

解题思路：首先先解出p与q的取值范围，再根据是否是逆否命题或是交并补集运算或是全称量词或存在量词去进行范围转换即可。

函数(停滞中....)

1.函数的基本定义

※：

①函数是用来描述变量之间的依赖（对应）关系。

②标准格式：

y=f(x)，x∈A

x为自变量，f()为对应关系，A为x的取值范围（定义域）

y（或者f(x)）的取值范围叫做值域。

值域的通用写法：{f(x)|x∈A}

③具体例子：y=f(x)=x²，x∈{1,2,3,4,5}

则值域：{f(x)|x∈A}={1,4,9,16,25}

考点：

①定义域一样，对应关系也一样的函数就是相同的

②对应关系不同不就不是一个函数

不等式

1.等式与不等式的性质

比较大小用作差法

作差法中的一些方法：

(1)平方法：通过对做差双方平方来比较大小，最常适用于含根号的比大小。

A方＞B方→A大于B（反之不一定）

平方法也经常用来同正比较大小。异号比大小平方需变号。

(2)作商法：分数比较多时常用，作商后与1比大小。注意分数比大小时同号使用，异号直接看就行了。

其他比较大小的小技巧：分式比较不好看出时，两边同时乘以正数约去分母，就比较方便看了，如果同乘负数记得变号。

推导性质：

2.基本不等式

注意基本不等式的前提条件是定义域＞0

常用变形是拆分与通分，同乘“1”替换等等

补充点:万能方法

求啥设啥，函数代换。

通过函数导数对不等式进行处理转换求最值或不等关系。

3.1的代换

基本形式：分+分=?或整+整=?

(特殊形式要约分或通分处理，或者是局部使用1的代换。)

当未知数加未知数的形式的时候，如果等号后面不为一，那么在运用的时候要同除以某个常数使等式等于一，再进行一的代换

未知数分之一相加同理。

大题书写时一定要写出取等条件

4.基本不等式中的凑形（中档）

总结：

(1)同乘或同除使之满足“1”的代换

(2)补项：根据分母分子的形式，相似即可直接加减来凑。如果看不出来可以用换元进行带换。

以题来讲：

5.基本不等式在各种场景下的使用方法

直接/一的代换/补项/换元

换元可以使题目更加清晰

【线性规划】

(新教材已删去，但觉得可以了解一下)

碰到二元一次不等式，将其转化为y与x的关系，然后在二维平面内画出图像，多个二元一次不等式的图像放在一起，再根据题目条件去进行筛选，直观的找到范围，这就是线性规划

自己总结的做题方法:

1.二元一次不等式改成y与x的关系的时候，需要把≠改判成＝，才能画出图像

2.根据题目条件去筛选所画出图像的范围，比如说＞，那么取值范围就在所给图像的右侧。搞不清楚时随便取个点代入看一下判断更为直观。

3.多个二元一次不等式，那就把图像叠加在一起看。一般来说，最后都是取交集为可行域，也就是要求的取值范围

可行域，就是指同时满足题目所给的几个不等式的取值范围的区域(解集)

空间向量

附手写总结

本章中加粗的字母例如a，AB等都视为向量

1.空间向量与坐标运算

【题目实例辅助理解】

求余弦值就随便取两个方向向量，加个||（绝对值）来算cos，以确保它算出来的是锐角。

///补充点：

②（来自其它网课）

空间向量的有关概念

空间向量的各种运算

③分不清 x轴 y轴 的看这里！！

x轴逆时针旋转90°为y轴。

④在此回顾一下平面向量里的定比分点公式，也是一个计算坐标的小技巧。

2.空间向量法

※：

①法向量就是垂直于这个平面的非零向量。

（长度不为零）

单位法向量在法向量的基础上加上【长度为一】

②注意各种角的范围（放入补充点中）

③中点坐标公式：

x坐标相加/2；y坐标相加/2；z坐标相加/2

④法向量对长度无限制（除了不为0）

【题目实例辅助理解】

///补充点：

①各种角的范围和对应公式

3.法向量求法稳固（基础）

以题代练~【题目实例辅助理解】

不信的话，去找几个题目练练去，这个方法用熟了求一个法向量最多一分钟。

4.建系实战指南

以题代练~【题目实例辅助理解】

※：搞定建系两步走

①掌握基本方法(各种公式)

②多刷题

PS：一数这个把底面拆开来看，就是用的之前的剖平面法，很多人可能做题时会在不知不觉中用到。

最佳使用情况是当你只用眼看，不是很能看清各边之间的关系的时候，用剖平面法最保险。

【此时切忌直接凭感觉看角度！！很有可能就会看错！！】

///补充点：

①说实话，只掌握+刷题还不够。

要自己总结方法，通式，搭构解体模型。

自己总结的，永远比听来的记得更牢靠。

②设动点坐标可以用定点分比公式（上面给了）找点坐标上面介绍了剖平面法，这里再将一个简单的向量法 基础方法必备（2/2）

向量法

简单来说，就是用向量关系去求其他坐标。

eg.已知AB=（1，2，3） BC=（2,1,2） A(1，1，1) 求点C的坐标。

很简单，直接由向量加法运算可得AB+BC=AC

得到AC=（3,3,5）

∵A(1，1，1)

∴C（4,4,6）

（向量加法运算没搞懂的回去看课，去看平面向量的。）

就这么简单，有的时候坐标看不出来就可以把这个坐标拆成多个向量相互加减来算，同样的用这个方法也可以来算所需的边的长度。

5.方法总结与建系策略提高

【题目实例理解】

※：

概念复习：

①法向量就是垂直于这个平面的非零向量。（长度不为零）

可用线面垂直的判定定理来计算法向量。

②位置关系：

1°垂直：

线线垂直（a*b=0）

线面垂直（a//m）

面面垂直

2°平行：

线线平行（a=λb）

线面平行（a*m=0）

面面平行（m=λn）

3°夹角（注意各种角的取值范围，上面补充点给过了）

线线夹角（cosθ=(a*b) / |a|*|b|）

线面夹角（sinθ=(a*b) / |a|*|b|）

面面夹角（|cosθ|=(a*b) / |a|*|b|）

(看图判锐钝/法向量都朝里外面不加绝对值，一内一外加绝对值)

手写总结:

空间向量部分到此结束~~

导数

(附导数技巧总结，有其他一哥没讲到的好东西喔~)

自己整理的导数专栏~

【【高中数学】导数必会技巧合集！！！-哔哩哔哩】 https://b23.tv/xwkDzbB

大部分总结方法技巧都在这里了!!!

（基础部分后面补上，我先根据个人需要直接上压轴，希望可以谅解。）

复合函数求导

→复合函数与基本函数最大的区别，就是在于复合函数是由基本函数构成的。也就是说，除去课本上给的基本导数计算公式的那么几种基本函数，剩下的基本上都是复合函数。

当复合函数看不出来时，就要把原本基础函数中未知变量的位置，换元成t、x等其他变量单独单出来看，这样会好看很多。

链式求导法则(洋葱法则)

由外而内，逐层求导，最后相乘

算不出来复合导数，就换元内层套出来计算。

套几层就导几次，最后把每次导结果相乘。

拓展思维: 从已知推至未知~

→求解x的x次方的导数

可以把它看作x的α次方也就是x的常数次方通过基础公式进行计算，也可以把它看作α的x次方通过常数的x次方的基础公式进行计算

在开始压轴部分之前，先补充一个化简计算的技巧，一定要看！！！这可能就是你老是计算错误，过程过于复杂的原因！！

///补充点：

非常重要的关于导数化简的小技巧！！！

就记住：

1°碰到eX，就让eX尽量与变量x相匹配，比如xeX，x/eX都可以，因为eX导出来还是eX，而且恒大于零，对分类讨论没有任何限制条件。

2°碰到lnx，一定要把lnx单独分出来放到一边！

因为lnx单独分开时，它的导数就是1/x，非常简单，也很好分析。但如果要是和别的量放在一起，那就会复杂许多！！！因为和别的量放在一起（常数不算），导完以后还是会有lnx，还要再导！！

比如f（x）=lnx/x，这个时候要是直接导，那就会出现（1-lnx）/x²，然后要是进一步计算就要单拎出lnx二阶导。

但这时令一个新的函数g(x)=f(x)/x=lnx，那么g(x)的导数就是1/x，就不需要二阶导了。（注意，这里x的定义域是＞0，所以直接除去x可以，其他情况还是要考虑一下正负的。）

主要就是通过乘除x之类的量，使得lnx单独出来，方便运算与讨论。

【压轴】1.恒成立之参数分离

【题目实例理解】

※：

①对于没有学过的函数，可以尝试去猜根（试根）

有的时候因式分解会直接帮助得出根。

②考试不要用“↑”、“↓”箭头来表示单调递增或递减，要完全写出来。

③大致画个图确认单调性，直接判断。

（讨论单调性，严谨一点是不能直接画图解释单调性的，因为图像不作为解题依据！！）

④压轴题中导函数求零点时，大多要进行因式分解，因式分解一般会有一点点难度，要了解一部分基础的凑配方式，比如提出一个x分给另外一个式子，还有加减常数凑配，或者提出系数凑配之类的。

///补充点：

①关于猜根的一点补充：

猜根也不是瞎猜，基本上就是猜0,1,2，-1，e这类数字，一般来说也不是很难猜。

猜根还要注意定义域的限制，比如说猜了一个“-1”，结果原函数是lnX，也就是定义域大于0，那么这个根“-1”就直接作废。

所以猜根之前，一定要先看定义域，有的时候定义域就可以直接筛选掉不存在的根，缩小猜根的范围，也就更好去猜。

②隐零点的相关解法（也就是第二道例题中那种求不出来具体位置的零点，即称为隐零点。一数后面也讲了，这里先行给出我自己的方法与观点。仅供参考。）

首先介绍一下零点存在性定理。

零点存在性定理：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）*f（b）＜0。

那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b)，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

对于函数 y=f(x) ，使f（x）=0 的实数x叫做函数y=f（x）的零点，即零点不是点。

（零点是y=0时，x=？中“？”的值！）

这样，函数y=f（x）的零点就是方程 f（x）=0 的实数根，也就是函数y=f（x）的图象与 x 轴的交点的横坐标。

但在导数中，用这个定理一定要先判单调性！！！一定要！！！

有的人可能会问为什么，在此用一组概念辨析来解释一下：

请判断下面两个命题哪个是正确的：

①若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内有零点。

②若y=f(x)在在区间[a,b]上连续不断且(a,b)内有零点，则必有f(a)·f(b)<0

↓↓↓

①一定是对的，这就是定义。

但②就错了，虽然只是把①反过来说，但这很明显是错的，比如说x²，有一个零点，但当x取-1,1时，1*1大于零，不满足②

这时怎么说才对呢？这就引出了导数中判零点要用到的零点唯一性定理

零点唯一性定理：

若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断，端点值满足f(a)·f(b)<0,且函数在(a,b)上单调，则y=f(x)在(a,b)内有零点。

反过来说也对

这就是说，如果要判零点，必须带上单调性，使用零点唯一性定理，所算出来的才一定是正确的！

切记单调！！！

现在来讲讲隐零点的出现情况：

一般都是在证明不等式中出现，比如某函数恒大于零。

首先对一个函数进行求导，讨论单调性等情况。

当导函数比较复杂，出现了类似于xlnx，xex此类的项时，将这些复杂的项单拎出来进行二次求导。

二次求导找零点判单调性。

这时发现当二阶导g(x)=0时，x解不出来（高中范畴内解不出来，其实都可以解）

这个时候就要虚设零点

意思就是g(x)=0，这个x是解不出来的，那就令x=x0，这个x0就代表g(x)=0的解。

但是要讨论单调性，必须还要知道这个零点的位置在哪，但这个位置算不出来，所以这个时候就要尝试对单拎出来的这一项函数进行赋值，来确定x0的大致范围。

赋值：就是取值往原函数里代，进行计算进一步估算零点。

通过各种定义域，大小关系，去限制隐零点所在区间，最后限定在一个大致的区间范围内即可。

比如在有log或者ln的式子中，定义域x＞0，则隐零点的取值范围只能在（0，+∞）之内。

当然这个范围还是很大，只是在此举个例子讲一下怎么利用各种关系去约束取值范围从而得到最小的大致范围。往往题目所要利用的就是用这种“逼近”方法所能取到的最小范围。

比如现已确定零点的范围是（0,1），假定函数单增

那么要进一步逼近零点，就可以采用赋值的方法。

比如赋值x=1/2代入原函数（注意是原函数，不是导函数），如果得到的f(1/2)＞0，又因为函数单增，则零点的范围缩小到（0,1/2）中

若f(1/2)＜0，则零点的范围缩小到（1/2，1）中。

但一般在隐零点问题中代入的值一般是正整数1,2,3,4等等，很少有分数，虽然说这样赋值所限定的范围还是不那么精确，但大多数题目就足够用了。

然后知道了x0的大致范围（就当做x0的定义域），再把x0直接当做一个常数带回到g(x)=0，代换得到关系。

再将此关系代回到原函数f(x)，对此时的函数f(x0)化简并运用关系即可证明不等式

大多数这类题目的思路就是这样的。

2°特殊方法（郎伯W函数或超越函数）

这个方法很刺激，但有一点难度，不要求掌握，但如果要冲高分，可以看一看，这个方法可以帮你简化思路，秒杀压轴！！（小题可）

这个特殊方法特殊在于你要了解两个知识点，但都不大属于高中范畴。

第一个：郎伯W函数（了解即可）

求准确值可用(一般也不会有这么变态的要求。。)

郎伯W函数，又名乘积对数函数、欧米伽函数

此类函数就涉及到了隐零点，用郎伯W函数来表示形式为：

如果xe的x次方的值为2，那么最后x的值就为W（2），类似于W（2）这类的值要依靠数学运算工具——计算器或电脑获得，在此直接给出。

对应此表可直接得到W（x）的值。

不过这种方法的实用性不强，但与之相关的图像就是导数中考频超高的超越函数

第二个：超越函数（重点）

超越函数就是类似于上面xe的x次方的这种函数，靠一般方法解不出零点的（就是隐零点），这一类称为超越函数，也有的称之为6大母函数。

这类超越函数最有用的是它们的图像走向，极值点零点等关键信息，这些信息常被用来直接或间接地出在题目里，而用在小题中时，你还要花时间去导，去看单调性，极值点等等。

但有了图像，就可以直接立判，省去时间，甚至直接出结果。

以下是导函数的六种图像，截图来源于超越函数讲解课程。

有的时候题目不会直接给出这六大母函数，但是只要出现xlnx，xex之类的项，就可以考虑往超越函数上想，然后通过同除掉x，或者将x从左移到右边等等代换方法就可以把题目化简为交点问题或是其他类型的问题，这个时候有的可以根据图像特征直接出结果，有的可能还要用到切线放缩等地方的知识。

但相比于基础方法来说还是要更快的。

记忆方法的视频：BV15b4y1H7q3

【压轴】2.恒成立之直接讨论（拔高）

///补充点：导数必看（？/1）

关于例题二有一点点补充，那就是必要性探路

必要性探路，就是在题目给的范围内赋值去试，从而减少讨论次数，化简过程。

以例题二为例，简要的讲一下。

∵X∈[0，π]，f(x)≥0恒成立

∴令x=0代入得f(x)=-(1+a)

∵f(x)≥0恒成立

∴可得a≤-1

于是就把a限制在了a≤-1的范围内

神奇的一幕出现了！

因为a≤-1，所以一数讨论的情况一，情况二，情况三，通通直接无解！！！就等于说你不用算了，直接讨论最后一种即可！

而且，大题可以直接用哦~~~~

注意点：

必要性探路，所赋的值必须在定义域以内，而且要用题目给的大小关系来约束！！

如果要使用必要性探路，一定要一上来就写，而不是放在最后写！！

而且，赋值的出来的大小范围就可以直接用了~

必要性探路，一般来说可以化简90%以上的题目，省去不必要的分类讨论！

你可能会犹豫到底是写还是不写，在此给个建议，如果题目太简单，直接分类做就是了，如果给的是复杂函数求范围，那就先用上，就算题目属于那10%没用的，也耽误不了几分钟。

前面所述的必要性探路只是其最最基础的应用，但实际上必要性探路的巨大作用远远不及此。

相关拔高内容还在整理，请见CV23533141，或前往BV16D4y1q7SY查看讲解视频！！（这是我能找到的讲的最全最好的视频了！）

未知极值点处理(中档)

通过估测得出范围。

判单调性，极值点。

由题得到关于极值点的等式，利用等式进行代换计算，消消消消消~

证明新函数，或是直接得答案~

继续精确可以去赋值限制隐零点范围以满足题目条件~

未知极值点处理(进阶)

碰到无法处理的含参的，可以结合题目中的ln等题目条件去进行分析，限制参数的范围，比如像这里的lna，这也就限定了a的范围必须大于零

根据目标代换式进行刻意的构造，采用移项取对数之类的方法

【拔高】极值点偏移

极值点相对中点分为偏左和偏右也叫极值点偏移。

理解就是要看哪边陡哪边缓，然后得出关系。

所以要证明哪边缓，哪边抖。

通法:结合一哥视频自己总结的

分析阶段:

①如果有第一小问是求单调性或极值，那就直接用第一小问求出的结论，去画个图，大致看一下哪边缓哪边陡，然后再去根据图像走势去构造函数。

②想要去证明哪边缓哪边陡，就要通过这两个x1x2，去构建关系，看这两者与极值点的关系，比如说X2更陡，那么等于说从极值点往X2方向偏，稍微偏一点点就可以下降／上升很多，那么，此时结合图像，设极值点位置为X0，则x2-x0＜x0-x1

③要证明上述不等式，那么就可以换种方式去证明，从极值点向左和向右相同的距离，这个距离设为x，如果极值点不发生偏移，也就是极值点和中点重合，那么，从这个极值点向左或向右相同距离所得到的函数值是相等的，但是因为极值点发生了偏移，所以从极值点向左和向右相同距离的函数值是不等的

在给出的例题中，因为极值点是左偏的，左边更陡，所以从极值点向左边相同距离的函数值小于从极值点向右边相同距离的函数值，就可以列出关系式，然后就去证明就可以了。

做题阶段:

①列出单调性，极值点

②根据题意列出x1与x2处函数值的关系(一般是相等)

③构造函数，就用从极值点向左或向右相同距离，这个距离设为x，判断极值点是左偏还是右偏，来得出不等式结论，要不然就是极值点减去x的函数值大于极值点加上x的函数值，要不然就是反过来。

④构造函数并对其求导判断单调性。因为如果不判断单调性，是无法直接得到不等式关系的，所以需要先去判断这个新构造的函数的单调性，然后再根据单增或单减，得到这样的不等式关系，这个时候，因为它具有单调性，所以就可以把外面的函数值f给脱掉。

⑤(答题术语)不妨设 ?＜x1<极值点<?

“?”处填上有两个相同函数值的范围

⑥令x0+x=x2(仅仅举个例子，有的时候不一定是这个)替换掉构造函数，换为要证明的x1x2，进而根据单调性脱去f，得到不等式关系，证毕。

补充一下:这只是极值点偏移最最基础的类型，相关变形一般要对证明结论取对数或是采取同构的方法加以解决，将其转变为最基础的结论再去做，也就是命题转换

导数的三连放缩

(顺便提一嘴，所有的这些放缩，包括三角放缩在内，都是由泰勒公式得到。感兴趣的可以去看看泰勒，这些放缩真的很好用，不过还是大题用不了，要证明。)

虽然说需要构造新函数，并且去证明放缩结论，但是总体上来说，思路很清晰

上题。。

导数的三角放缩举例

(讲真，第一题我的想法是对数均值不等式。。对数均值不等式是真的好用。CV22752782了解一下，或去看看视频也可。)

导数中的数列求和

所求数列一定和前面所求有关。

通过对x赋值将符号改写

导数的放缩进阶技巧

计数原理

1.加法与乘法原理

※：

①分类加法计数原理：理解字面含义，通过分类来得到不同方案的时候，是用加法将他们加在一起的。

(一数举的例子)：

以两类情况来代替这类问题。

比如解决一个问题，第一类方案有m种解决方案；第二类问题有n种解决方案，所以解决这个问题一共有m+n种解决方案。

【题目实例辅助理解】

②分步乘法计数原理：理解字面含义，通过分步来计数的时候，是用乘法将他们连在一起。

(一数举的例子)：

以四步情况来代替这类问题。

比如解决一个问题，第一步（A）有m种方法；第二步（B）有n种方法；第三步（C）有t种方法；第四步（D）有s种方法，所以解决这个问题一共有m*n*s*t种方法。

【题目实例辅助理解】

ps.注意，从第一层楼到第五层楼，只走了四步！

③加法乘法混合例题

————————分割线—————————

从这里开始涉及到了特殊的数学符号，由于排列组合的符号比较难打，所以一律用Amn或Cmn表示，上标放前面，下标放后面，比如A34=4*3*2=24.

2.排列

【例题引入】

ps.数字排列，使用数字不重复时，用掉一个少一个。

※：

①排列数公式：

②n=m时，为全排列。

PS：n！（“！”不是代表感叹的意思！！是代表阶乘！！）

（关于阶乘在下面的补充点里提及）

③排列公式从定义式推到阶乘式：

把Amn上下写成分数形式，上下同乘（n-m）*（n-m-1）*....一直乘到1。

此时分子是1一直乘到n，为n！

分母是1一直乘到（n-m），为（n-m）！

④证明一般用阶乘式来证明。

【题目实例辅助理解】

PS.百位要把“0”给去掉，百位上排零就不叫三位数了。日常做题中碰到数字排列组合成为几位数的这类问题，都要注意“0”不能放在首位！！这是一个很重要的限制条件。

///补充点：

①可能会有人不了解什么是阶乘，在此简单介绍一下。

阶乘：“阶”看字面意思，就是类似于台阶一样；“乘”就是乘起来。

正规定义（高中版本）：阶乘是指从1到n的连续自然数相乘的积。

那么什么是阶乘？

举一组例子↓

1！=1 2！=1*2 3！=1*2*3

就写到这里，大概能看出来阶乘是个什么东西了吧。

阶乘的通式是 n！（在高中阶段，n取自然数）

意思就是从1开始乘，1乘2乘3乘4.....一直乘到n结束。

需要注意的是→ 0！=1

这是被定义的，为了让涉及到0的阶乘有意义，理解不了为什么直接记住就好啦~~

②关于以上的知识点讲解，不理解的请去练练题。如果理解不了Amn这种是怎么乘起来的，可以先用穷举法试一下，一定要理解概念，而不是死记。

③在这里浅浅的总结一下一数在第三道例题中所用到的两种方法，这两种方法都是日后做题的重要思路来源。

1°正面直接入题：跟着题目条件走，题目说什么就做什么，比如题目说不能在首位放“0”，就不在首位放“0”。再去接着分析其他情况。

大多数题目直接正面做就行了。

2°正难则反（通俗一点就是从反面去做，有一点点像是倒推法。很多题目用这种方法可以优化过程，简单明了。）

比如说题目中讲了，首位不能放“0”，那我就反着和题目杠，我就偏往上放一个“0”，这个时候的出来的结果就是题目所限制之外的。

杠完了题目别只顾着爽——把“0”放在首位的情况是题目条件之外的，也就是说，这种是不需要的，要把去掉。

题目限制范围内的 = 题目 - 题目限制之外的

比如说：算出来不分“0”是否在首位的（就是不管限制条件）共有100种，把“0”放在首位的情况有10种，那么题目所限制的正确种数就是100-10=90种。

3.组合

※：

①一数举的例子辅助理解：

比如说要从5个元素（A、B、C、D、E）中取3个元素。

比如说正好取出来了：B、D、E

那么取出来的B、D、E就叫做从5个元素取出三个元素的一个组合。

类似于BDE这种组合有很多种，而这么多种组合的数量，就叫做组合数。

记作：Cmn

②组合数公式用排列数去推：

③特殊规定

④证明一般用阶乘式来证明。

⑤从n个不同元素中取出m个元素有多少种选法，选出来的时候是不需要排序的——组合

从n个不同元素中取出m个元素有多少种选法，选出来的时候需要排序——排列

【题目实例辅助理解】

【补充】排列组合的使用情况

※：

总结一下：

排列是在选取的基础上多加一步顺序。

组合是选取的过程中无序，随便抽取。

【题目实例辅助理解】

PS：注意“0”不能放在首位！！

4.排列组合的应用（习题课）

（捆绑法↓）

///补充点：捆绑法中需要注意一下，如果说是“甲在乙前面”或是“乙在甲前面”，只有一种情况，那么捆绑甲乙两人直接看成一个人。

但如果是“甲与乙相邻”，也就是说“甲在乙前面”或是“乙在甲前面”都包括在内，有两种情况，结果的出来要*2才行。

这道题涉及到了之前补充的知识点“正难则反”以及其他知识点混合运用。

5.二项式定理与通项

※：

①项数低的时候可以用杨辉三角写出来（建议项数≤7）

同时，杨辉三角也可以在忘记二项式定理时使用，但大题不能用。

②推导二项式定理思路拆解：

将(a+b)ⁿ拆解为(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b).....

然后将其理解为从括号的两个元素a和b中每次抽出一个与其他抽出的元素相乘，将所有可能的情况以及数量合在一起，便得到了二项式定理。

③(a+b)ⁿ展开一共有(n+1)项

④二项式系数指的只是组合数，不包括前面的符号以及其他系数

⑤开始做题不太熟悉的时候用(a+b)套入，前面的元素设为a，后面的元素设为b（记得带上正负号！）然后再去通过通项公式去求。

概念辨析：

系数是指该元素前所有的符号与数字算出来的值。

二项式系数仅指该元素前的组合数！

6.二项式的性质

※：

①在二项式系数中，当n为奇数时，最中间的两项最大，且值相等。

②在二项式系数中，当n为偶数时，只有最中间的一项最大。

③求系数和可以采用赋值法，将x的次方项提出以后，令x=1，得到的结果就是系数和。

（一数总结了通用策略，放在【考点精华】13）

自己总结的排列组合相关做题套路

①首先注意题干，是能重复分还是不能重复，元素是相同还是不同。

②合理规划分配路径，分析出是用分步计数原理还是用分类计数原理。

③然后要去看分元素是有顺序还是没有顺序。

有顺序就要用排列来算，无顺序要求就用组和来算。

④最后注意看好分步，分类，排列，组合之间的关系，准确来说是优先级。

因为基本上稍微难一点的题目都是这些关系杂糅在一起。

比如说先分类，再分步，最后排列还有组合

那就要写成：

结果=分类种数1+分类种数2（假设只分了两类）

分类种数1=A..*C..*A..（假设只分了三步）

分类种数2=......（略）

合并一下：结果=A..*C..*A..+......

要按优先级来排列，类似于大括号套中括号套小括号。

⑤有的时候可以去想一想有没有什么其它做法，比如说正难则反，逆求然后刨去不需要的之类的

同时要注重思路培养，虽然排列组合这里题目多而杂，但基本就那么几大类，跟着一数走，掌握基本题型做题思路，在碰到新题目时学会知识迁移，进行自我归纳总结，这就已经可以搞定排列组合了。

PS.还有两点，可能有些人搞不清楚

Q：怎么区分元素是相同还是不同？题目给了我那么多元素，就说了几个人，几个球之类的，也没说ABCD甲乙丙丁，这怎么看？

A：当涉及到人时，比如说4个人，直接就默认是不同的！！！除此以外，都默认为相同。

还有就是当这些元素不管是人或是物，加了限定条件，明确了甲乙丙丁之类的，那就一定不一样！

///隔板法，插空法，分组分配法的不同使用条件：

插空法：仅在排列中使用！

隔板法：仅在组合中使用，且题中所给元素必须相同！

分组分配法：仅在组合中使用，且题中所给元素不同！

7.【考点精华】初识计数题型（基础）

【题目实例辅助理解】

（涂色问题初探）

（捆绑法初探）

（插空/隔板法初探）

※：总结

①（参照例题一）

涉及知识点：普通计数与排列组合的区别

区别：有无因果关系或互相限制。

有——排列组合 | 无——普通计数

注意看清题目所涉及的元素之间的关系。

此题中五名同学与四个活动小组互相之间都没有联系，所以均摊到每一个活动小组即可。

另外要注意理解数字含义，比如4的5次方表示4个活动小组，每个活动小组被报名的同学会有五个。

而5的4次方是5个同学每人都会报4个小组，明显与题意不符。

②（参照例题二）

涉及知识点：排列组合之间的区别

区别：题目要求的是否与顺序有关。

是——排列 | 否——组合

本题先从题目条件【偶数】入手

因为是五位数是偶数，所以个位数必须是偶数。（偶数简单来说就是那这个数除以2看是否为整数，是就是偶数，否就是奇数。）

个位为偶数共有三种选择。

再回到首位开始往后排列。

（可能有人会问为什么要回到首位开始排列，首先在这个题目中是否从首位开始排列无关紧要，但是有的题目在选取的数字中加入0时就必须从首位排列。因为这样可以避免出错。数字中有0时，0不能放在首位，之前的视频也讲过了）

需要注意的是，题目中给了数字，数字是可以重复使用还是不可以重复使用，这导致的结果完全不同。

③（参照例题三）

涉及知识点：排列组合中的思路简化

尽可能地拆分题目给的条件，得到最简单的题目呈现方式。

此题中将路径问题拆分成了必须的两个步骤：向上走和向右走，这个时候再分析就很简单了~

8.【考点精华】捆绑法与插空法（基础）

【题目实例辅助理解】

甲乙丙丁戊己这六个人

※：

①使用情况：涉及到相邻或不相邻基本会用的。

②插空法中的空是用来添入元素的。

插空法设空的时候要注意已经固定好的元素两边也各有一个空！

③当不知道关系的时候遇事不决就分类。

或者使用正难则反，就是写出所有条件，再把不满足的丢掉。（有的时候正难则反也不是很好用......）

④捆绑法就是把相邻的两个人（有的时候会有三个，四个等等，但必须是相邻）捆起来，看做一个人。

比如五个人A/B/C/D/E随机排列，其中A，B必须相邻，那么就把AB捆起来看作一种，这个时候就按照AB/C/D/E，用这四个“人”去排列。

⑤注意题目条件中给的元素是相同还是不同的，比如甲乙丙丁，这就很明确的是元素不同，但如果是五本书，有可能就是一样的元素。

9.【考点精华】隔板法（中档）

【题目实例辅助理解】

※：

①隔板法中的板子是用来分隔元素的，将元素分成n份，就插入（n-1）个板。

②隔板法与插空法都要找空位，但使用隔板法时，左右两边是没有空位的，放不了板子。

③隔板法要注意题目所给元素是否相同，一般只在相同情况下使用隔板法。

④当做方程解的问题时，要注意是否为正整数，涉及到0时要想办法方程两边同加某个数使得每个解均为正数。

⑤对什么不清楚就对什么分类讨论。（对某种情况分类讨论，就可以直接避免掉这种不确定情况）

⑥放球问题涉及到空盒，使用隔板法要记得每个盒子+1，使得空盒不为空，再进行运算。

（同样的，每个空盒+1，那么总球数就要+空盒个数*1，以保持左右总量相等，类比与方程同加。）

⑦隔板法永远都要回归到最本质的正整数解上。

10.【考点精华】分组分配问题（中档）

【题目实例辅助理解】

※：总结

①分组分配问题一共分为两步，首先要分组，分完组以后再将分出来的组进行分配。

1°首先分组，使用组合进行计算，也就是分堆问题。

分堆问题：先把没有重复堆数的堆单独列出来，由于是无序的，为了便于计算，假设为有序的，所以这几个堆之间使用组合相乘是重复的（因为之前假设了有顺序），需要刨去排列，才变为正确答案

→（便于计算）有序 ÷ 全排列 = 无序

简单来说，单拎出不重复的，剩下重复的重复n遍，先使用组合，再总的一并除去Ann

2°然后分配，使用排列

分配问题：分组分好了以后，看一共有多少组，这个时候使用排列，而且是全排列，分了n组，最后就乘上Ann

11.【考点精华】染色问题（中档到拔高）

【题目实例辅助理解】

※：

一数总结的通法：

①模拟过程

选择一个格子，将这个格子内的情况都直接写出来。

②跳格分类

跳到对面的格子里，进行分类。

有多个对面的格子，就选择随便其中一个进行分类，如果这个格子的对面还有格子，就再分类一直这样下去。直到最后一个格子的对面就是第一个选中的格子为止。

做题方法：遇到复杂的立体图形，可以根据图形的特点，将其转化为平面图形来做。

///补充点：

还有一种涂色问题的解决策略，两种策略可以说是不相上下，但是互通有无，建议了解一下。

按照事件的直接影响来进行涂色，而不是跳格分类。

确定的列，不确定的分类讨论数。

12.【考点精华】计数原理之间接法（中档）

前面讲的正难则反就是这个啦~

13.【考点精华】一道好题学会排列组合问题核心策略（中档）

※：

①首先化简，将题干信息转化成字母ABCD或其它常用汉字与序号来进行化简，方便进一步做题。

②树状图分析问题

原则：优先分析限制条件多的，然后再去分析限制条件少的。

根据分析不断分类，碰到有多种情况的时候就分类

③按先后顺序写的都是乘法原理，打了括号分类的都是加法原理

14.【考点精华】创新性排列组合问题该如何思考？（中档）

【题目实例辅助理解】

15.【考点精华】常规二项式问题（基础）

【题目实例辅助理解】

※：

①一定要注意第r+1项所对应的是 C r，而不是C r+1

///补充点：

①例二速算：

观察题目，由于题目给出的两个元素一个是X，一个是2/(3√x)

所以要得到常数项，就要去凑。

因为第二个元素是在分母的位置，且是3√x

所以要凑出常数项，最简单的方法是取三个

2/(3√x)，这个时候分母就剩了8/x，再取出一个x，就能把x全部消掉得到常数项。

所以最简单的步骤是n=4

看一下选项，没有n=4，因为n=4是最简单的步骤，那么再往上找就将n=4看成循环节，只有4的倍数才行，所以只有A选项可以。

虽然说文字看起来这么多，但实际上想通了不用列公式计算最多两分钟出结果。

②复合二项式问题的解决策略：

有的时候做题会遇到多个二项式组合，或者是二项式里面套的是类似于(X²+2X+3)而不是(x+1)这类的式子，有两种解决方法。

1° 拆分，分开单独运算，最后合并

这也是最普通常用的方法，就是把多个多项式拆开逐个运算，最后相乘

例如(X+3)ⁿ(x+1)ⁿ这样的组合型二项式，就把拆开来单独运算即可。

（虽然如此，但也有的题目会把逆用！比如求整求余还有像问过了多少天后是星期几的这类问题，都要用到拆分法，这里要去尝试比如说将3的3次方拆成（1+2）的三次方再去进行运算，涉及到算星期的问题要把拆开的数字尽量往7上面凑，才能得到取整或取余的结果。）

2°整体思想，将一部分看为整体进行运算，最后再把整体拆开细算。

这种方法也比较常用，主要是应用于多次式出现在二项式中时进行使用，可以简便计算过程。

例如(X²+2X+3)ⁿ

这里就没法拆开做了，那么就将(X²+2X)看做一个整体，令为元素a，2看为另一个部分，令为元素b，这个时候就可以用二项式定理接着做了，最后再把(X²+2X)单独乘入展开的二项式即可。

【计数原理】到此结束~

不过还有一部分内容有待补充。

随机变量

关于条件概率这一小部分，感觉一数讲的不是很细，于是去找了佟大大的课听了一下，笔记补充在这里。一数的讲解放在后面。

///补充点：条件概率

补充来源：BV1fJ411R73E

基本概念

P(A)：A事件发生的概率

P(AB)：A和B事件同时发生的概率，用集合表示为A与B的交集，也可写作A∩B

P(A+B)：A与B事件中任意一个发生的概率，用集合写作A∪B，A与B之间是并集的关系。

P(B|A)：意思是在A事件（条件）成立的前提下，B事件成立的概率是多少。

课本给出的公式：

P(B|A)=P(AB)/P(A)

谁在“|”后面，就用交集除去谁。

课程截图：

※：

①Q：P(B|A)与P(AB)有何区别？（用韦恩图表示都是交集部分）

A：

用实例来举例说明：

某动物活到20岁的概率为：0.5

活到40岁的概率为：0.3

求：活到20岁的前提下，活到40岁的概率为？

记活到20岁为事件A，活到40岁为事件B

则题目的问题可以表示为P(B|A)

从表面看P(B|A)与P(AB)要求的量是同一部分，但通过具体数据与图像来展示可知：

AB是在整体范围内的交集概率

A|B是在B的范围内的交集概率（不算上A的范围）

通过表达式进行直观展示：

P(B|A)=n(AB)/n(B)

P(AB)=n(AB)/n(A+B)

分子是一样的，但分母不同。

总结一下：

就是A|B的功能是将整个取值的范围限制在了B的范围以内。

例题讲解：

1.条件概率与独立事件

//相关概念见上//

条件概率

【题目实例辅助理解】

条件概率公式推导：

例题：

相对独立事件

相互独立事件就是事件A与事件B与事件C....每个事件之间发生的事情不互相关联影响。

关于P(B|A)与P(AB)的辨析见上↑↑↑

///补充点：全概率公式与贝叶斯公式的理解

来源于视频BV1a4411B7B4

通过将发生的事件情况以路径来体现。

①全概率就是每条路径相加，求得是最后的结果

②贝叶斯就是这一条路径除掉总路径，通过已知的结果去反推单条路径。

更多详细内容见小姚老师视频BV13X4y1d7So的笔记区我的笔记~

2.离散型随机变量及其分布列

随着实验结果变化而变化的变量叫做随机变量类似于函数。一般用符号x，y以及ξ，η来表示，这些符号所代表的就叫做随机变量，而x被赋予的值，可以类比理解为函数中的值域。

离散的意思就是可以分离开的，而离散型就是指所有的取值都可以一一列举出来，高中一般考的都是离散型随机变量，也就是结果可以一一列举出来的变量，比如说掷硬币只有0和1两种结果，掷骰子只有123456六种结果。

非离散型随机变量也可以转化为离散型随机变量。

不属于离散型随机变量的情况:

结果无穷无尽，无法全部列举出来，或者不是随机变量。

【例题辅助理解】

离散型随机变量的分布列:

就是把离散型随机变量可能的结果，以及这种结果的概率全部写出来，就叫做离散型随机变量的分布列。

一般用表格表示，表格上面一行写的是随机变量，下面一行写的是对应的概率。

在写概率时，括号内要写x(或其他离散型随机变量符号)等于几，就是把随机变量赋到几的值，代表当x=？时的这个事件。

括号里面也可以写中文，只要能把这个事件表述清楚就行

另外一种写法就是P(x=xi)=Pi，i=……(写具体数字)

类比于数列中的通项。但一般不建议这么写

性质:

①Pi≥0 , i=1,2,...n

②(P1+P2+...+Pn)=1 所有事件的概率和为1

两点分布:

随机变量只有两种结果的分布列叫做两点分布。

一般将P(x=1)称作成功概率

【例题辅助理解】

验算:用概率和为1来运算。

3.离散型随机变量的均值与方差

首先理解加权的含义:字面理解加权，权就是权重的意思，也就是占的比重

每一种事件对应的概率，被称为权数，也就是这件事，在总事件中所占的比重。

研究的事件是:从一桶糖中取一颗糖，随机变量x：该糖的单价为x元每千克

如果把这个事件转换为离散型随机变量，那么上式就代表着，高中数学里面所说的数学期望，简称期望。也叫离散型随机变量的均值

平均值可以理解为是一种特殊的加权平均数，或是一种特殊的均值，在这种情况下，所有事件发生的概率相等，所以所占权重均为一

推导性质：

例题辅助理解：

对于任意一个两点分布，他的数学期望等于成功的概率p

对于独立重复事件而言，他的期望等于np

方差：

因为期望值相同，所以选取得分更稳定的同学参赛。

量化稳定——方差

Xi-E(x)表示第i个数据偏离均值的程度

(Xi-E(x))²加了平方，放大偏离程度从而更好体现偏离情况。

在每组偏离程度后乘上对应的概率，就是加权的意思

方差越大越不稳定，越小越稳定。

标准差就对Dx开根

两点分布下的方差

4.独立重复实验(伯努利实验，二项分布，超几何分布)

在此把之前笔记拿过来一点

①事件的独立性

1°独立事件是指A、B两种事件相互之间不影响，互不相关。

符合独立事件即可使用独立事件的乘法公式：P(AB)=P(A)·P(B)

AB即表示两种事件同时发生。

以A事件与B事件概率的乘积来表示。

2°不独立事件，就是A、B两事件相关，互相影响。

概念讲解：

P(x=k)是指当x=k时，该事件的概率。在此题中意味着一朝上的次数为k时的概率。

进一步延伸二项式分布

X~B(n,p)也就是说这个事件是独立重复事件，满足二项分布，满足上述公式。

独立重复实验中

E(x)=np

D(x)=np(1-p)

平移会影响期望

伸缩会影响期望与方差

平移即在原本期望或方差的基础上进行加减

伸缩即在原本期望和方差的基础上进行乘除

例题辅助理解：

伯努利实验+二项分布+超几何分布（整合）

（来源于网络）

1.伯努利实验+二项分布

二项分布

n次独立重复实验

X记录事件的发生次数

p表示在一次实验下，该事件发生的概率

二项分布使用X~B(n,P)来表示

期望E(X)=np 方差D(X)=np(1-p)

使用二项分布的摸球情况是，摸完以后放回，可以以此类比到其他事件。

2.超几何分布

超几何分布与二项分布辨析

本质区别：

(1) 超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.

(2) 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.

当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.

综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。

随机变量习题课

注意随机与变量

概率和为1

独立重复实验

正态分布

从例子讲起

频率=频数÷总数

性质:

①对称轴x=μ，此时取到峰值为y=1/(✓2π•σ)

②正态曲线的函数一定在x轴上，且与x轴不相交

③最大值x=μ时取得

④正态曲线与x轴形成的面积为1，因此又称作概率密度函数

表示为N(μ,σ²)

若某随机变量符合正态分布，即用X~N(μ,σ²)表示

记忆大概估算的三个数值

μ的作用:确定对称轴

σ的作用:确定最高点值，σ越大最高值越小数据越分散

E(x)=μ D(x)=σ²

正态分布中的特殊类型是当μ=0，σ=1时，此正态分布称为标准正态分布。

三σ原则:

①P(μ-σ＜x≤μ+σ)≈0.6827

②P(μ-2σ＜x≤μ+2σ)≈0.9545

③P(μ-3σ＜x≤μ+3σ)≈0.9973

做题主要就是通过对称性去计算概率。

正态分布习题课

首先要注意对称轴，如果这个随机变量x符合正态分布，那么对称轴x=μ，此时取到峰值为y=1/(✓2π•σ)

使用对称性去做题，结合3σ原则。

搞不清是否对称，就画个正态曲线去看

总面积和为1

【线性回归方程】

线性相关，能以直线来替代表示的数据关系。

线性拟合:用近似函数来表示变量关系。

高中仅学习线性回归。

线性回归方程建议背公式记下来，但考试基本上会给。

在不同的变量上给出符号“^”，用来表示这个变量是预测量，并不是真实出现的。

预测量上面就要加符号，但如果是真实量就不用。

线性回归方程一定经过样本的均值点(样本中心)。

残差越小，线性回归方程拟合程度越高

使用最小二乘法所得出来的线性回归方程，是使得残差的平方和最小，所以拟和程度最高。

相关系数越大，线性回归方程的拟合程度越高

计算相关系数的平方是因为它类似于标准差与方差的关系，平方比较好算

补充点:非线性回归方程就换元为线性回归方程做。

经常就是通过简单换元或是取对数(ex类型)来做。

【习题课】

考试重点是样本中心!

相关系数一般会给，直接套即可。

｜r｜大于等于0.75表示线性相关程度强，｜r｜小于等于0.25则表示线性相关程度弱，数值越靠近1相关性越强。注意要带上绝对值。

正负相关，看相关系数r的正负

独立性检验——验证两个变量间的相关性

独立性检验的公式考到一般会给。

以防万一可以考虑记忆。

k方越大则相关性越强，则说明两者之间的独立性越差

同样的，k方越小则相关性越弱，这说明两者之间的独立性越大

k方很小不可以说明这两者完全没有相关性，因为一般给出的是样本，无法判断，而且数据一般也不可能为零。

但如果k方很大，那么就可以说这两者有相关性，甚至是极强的相关性

K方算出来的值叫做观测值

临界值表→代值比对

例题辅助理解