《几何原本》命题1.40【夸克欧氏几何】

命题1.40：

如果在底边所在线段同侧且底边相等的两个三角形面积相等，那么其顶点的连线与底边平行

已知：△ABC，△CDE在BE同侧，其中BC=CE，S△ABC =S△CDE

求证：AD∥BE

解：

设AD，BE不平行

过点A作AF∥BC，与CD交点记为点F

（命题1.31）

连接EF

（公设1.1）

证：

∵BC公用，AF∥BE

（已知）

∴S△ABC =S△FCE

（命题1.38）

∵S△ABC =S△CDE

（已知）

∴S△FCE=S△CDE

（公理1.1）

∴小的等于大的，这是不可能的

（公理1.5）

∴AD∥BE

证毕

此命题在《几何原本》中再未被使用