大数数学(中高级入门-来自最菜萌新)

我们说一个函数f(x)的增长率高于g(x)，意思是存在无穷多个点y，令f(y)>g(y)，我们希望得到一个尽可能快的函数f(x)，于是便构建了一个从序数(ON)到自然数(N)的映射f:ON→N通过输入ON中的序数，我们能够输出一个很大的自然数，最常用的就是FGH(快速增长层级)，定义如下： f₀(x)=x+1 f_β+(x)=f^x_β(x) f_α(x)=f_α[x](x)如果α是极限序数 f^x(y)意思是把一个函数f嵌套x次，最里层是f(y)，定义为： f^1(x)=f(x) f^β+(x)=f(f^β(x)) 比如f^3(2)=f(f(f(2))) 除此之外，我们还有别的GH(共同点是它们都是f:ON→N的映射)： SGH(缓慢增长层级)： g₀(x)=x g_β+(x)=g_β(x)+ g_α(x)=g_α[x](x) 如未特别说明，以后α均表示极限序数 HH(翻译为哈代层级)： H₀(x)=x H_β+(x)=H_β(x+) H_α(x)=H_α[x](x) MGH(中速增长层级)： m₀(x)=x m_β+(x)=m_β(m_β(x)) m_α(x)=m_α[x](x) 然后是基本列的选取，如果你仔细观察不难发现，基本列的选取是所有GH最重要的内容，不然的话这就单纯只是f:N→N的映射了 基本列是这样一个概念： 给定一个极限序数α，我们选取一个序列{γ_n}(大数中我们希望γ_ω=α，即基本列的长度只能为ω) 满足： 对任意n<ω，均有γ_n<α 并且我们取γ_n(对任意n<ω)的并集就能得到α 我们用α[n]来表示这样的相对于α的γ_n 我们这样选取基本列： ω[n]=n ω+ω[n]=ω+(ω[n])=ω+n ω*ω[n]=ω*(ω[n])=ω*n (ε0=ω^^ω)[n]=ω^^(ω[n])=ω^^n 大致规律是遇到ω就把它换成n，当然它有更严格的定义，这里能理解就行 这样，来举几个实际的例子： f_ω(x)=f_ω[x](x)=f_x(x) f_ω*2(x)=f_ω*2[x](x)=f_ω+x(x) 这里需要注意一点 f_x+1(x)≠f_ω+1(x) f_x+1(x+1)只是f_ω(x+1)而已 然后说prss，翻译过来叫初等序列 初等序列是一个由标准自然数组成的序列 形如：(1,2,3) (1,2,2) (1,2,3,4) (1,1,4,5,1,4)都是它的标准项 它的展开是这样： 给定一个式子，我们找到它末尾的自然数，如果是1，那么(x,1)=(x)+1 (1)=1 (1,1)=(1)+1=2 (1,1,1)=(1,1)+1=3(值得一提的，这里选用的是SGH，所以按照这样它的增长率是g_ε0) 特别地： 如果末尾大于1，称其末尾为x x以自身为起点，从右至左找到第一个y令y＜x 此时我们规定一个序列Sk=(y,…,a)，其中a是x的前一个数字，即Sk是原序列中以y开头x结尾(包含y但不包含x)的序列，然后删除x，将Sk在原本x的位置复制n次(n为底数，即你输入的自然数) 我们把这样的y叫做x的父元素。 比如规定底数为3 对(1,2)，2的父元是1，Sk=1 (1,2)=(1,1,1,1)(末尾复制3次Sk) (1,2,3,4,3)，3父元为2，Sk=2,3,4 (1,2,3,4,3)=(1,2,3,4,2,3,4,2,3,4,2,3,4) prss的极限形式为(1,2,3,4,5…,n)[n](n为底数) 增长率是ε0 你可以选择换个壳，修改一下末尾为1情况下的定义，令它的增长率变成H_ε0/m_ε0/f_ε0，特别地，序数中有一个特殊的概念—不动点 称x是一个函数f(x)的不动点，当且仅当f(x)=x 比如我们规定一个f:ON→ON的映射： f(0)=ω f(β+)=f(β)+ω f(α)=U β∈α f(β) 第一个不动点是ω^ω，并且存在关于f的任意大的不动点(这个证明是显然的) 一般地，我们用α→f(α)来表示f(α)=α的不动点(没特别说明通常指第一个) 仔细观察我们还能发现一个定理： 任何高阶不动点同时也是低阶不动点 此外只需要注意，序数运算中，在“左”的运算不保持良序 1+ω=ω 2*ω=ω 2^ω=ω 我们会称这种情况为发生了序数吸收 即“大的和小的放在一起运算，小的被大的吸收了” 不会产生这样现象的式子叫康托范式