驻点怎么解？拉格朗日乘数法-偏导等于0-求极值最值时产生的一系列方程组怎么解？（1）

在多元函数微分学的专题中，会有这样的情况，在求极值和最值时，产生的一系列方程组不知道怎么解，或者少解。那究竟应该怎么解呢，下面UP给出了两个简单的例子来说明用讨论法求解方程组。

优点在于不会少解，讨论情况的层次分明。

例题1、求函数f(x,y)=xy(a-x-y)的极值。

产生方程组

f'x=y(a-x-y)-xy=0 ...①

f'y=x(a-x-y)-xy=0 ...②

下面来求解该方程组:

由①②得

y(a-2x-y)=0 ...③

x(a-x-2y)=0 ...④

下面讨论y=0和y≠0

一、y=0时，③式无用，④式等价于a(a-x)=0，故x=0或x=a，此时得(0,0)和(a,0)

二、y≠0时，③式等价于a-2x-y=0...⑤，对于④式讨论x=0和x≠0。

（1）若x=0，由⑤得y=a，得(0,a)。

（2）若x≠0，④式等价于a-x-2y=0...⑥，由⑤⑥可得(a/3,a/3)。

综上，解得(0,0)，(a,0)，(0,a)，(a/3,a/3)。

例题2、求函数f(x,y)=x+y+1在约束条件x²+y²-1=0时的最值。

产生方程组:

F'x=1+2λx=0...①

F'y=1+2λy=0...②

F'λ=x²+y²-1=0...③

下面来求解该方程组:

显然x=0或y=0或λ=0都不同时满足①②③，故x≠0，y≠0，λ≠0。

由①②得到2λx=-1，2λy=-1，两个式子相比得到y=x，往③式代入得到2x²=1，则x=±√2/2，则y=±√2/2。

综上，得(√2/2,√2/2)和(-√2/2,-√2/2)。