北太天元学习11c-线性代数知识补充续
然后，我们再谈谈从一个线性空间U到一个线性空间V的线性映射，
我们还是从具体的例子讲起，就讲刚才的求导这个映射
T: P_1 -> P_1
a_0 + a_1*x |-> a_1
这个映射是一个线性映射，我们知道 {1, x} 是P_1 的一个基，
我们用 e_1 表示 1, 用 e_2 表示 x, 其中 e_1 和 e_2 都是 P_1的向量，
这样，我们就不太容音把 e_1 =1 的1 和 数域 中的数1 混淆起来（但是有时候
实在无法区分，大家还需要联系上下文来判断).
因此对于任意u \in P_1, 都存在唯一的线性表示，即存在唯一的实数域 R中的数 a_0, a_1
使得 u = a_0 * e_1 + a_1 * e_2,
我们知道求导映射是线性映射，因此
T(u) = T( a_0 * e_1 + a_1 * e_2 ) = T(a_0 * e_1) + T(a_1 * e_2)
= a_0 T(e_1) + a_1 T(e_2)
这里还可以总结出线性映射的加性（addivitiy)和齐次性(homomgeity with degree 1)
实际上可以导出 线性映射和线性组合是可以交换的，
T( a_0*e_1 + a_1 * e_2) = a_0 T(e_1) + a_1 T(e_2)
或者我们用矩阵乘以向量的记号来写上面的式子
T ( [ e_1 e_2 ] [ a_0 ]
[ a_1 ] ) = [ T(e_1) T(e_2) ] [ a_0 ]
[ a_1 ]
其中 [ T(e1) T(e2) ] 是把两个映射T作用在e_1 得到的T(e1) 和 映射T作用在e_2 上得到的
T(e_2) 放在一起组成一个 1x2 的矩阵， 但是注意，这个矩阵不是由数组成的矩阵， 而是
由P_1中的向量组成的矩阵，前面的 [e1 e2] 也是 1x2的矩阵，矩阵的(1,1)元是 e_1 ，也
不是一个数，而是 P_1的一个向量，(1,2)元也是向量。
[ e_1 e_2 ] [ a_0 ]
[ a_1 ]
这个矩阵乘以向量该如何定义的，实际上就定义为 e_1 和 e_2 的一个线性组合
a_0 * e_1 + a_1 * e_2
这和普通的数组成的矩阵和数组成的向量的乘法在形式是一样的, 但是有一点可能让
大家感到困惑，因为似乎 乘积 的结果应该是e_1 * a_0 + e_2 * a_1, 但是向量
乘以一个数我们又没有定义，因此一定要理解乘 a_0*e_1 + a_1 * e_2, 这一点小小的
别扭， 大家就当成 向量组成的矩阵与数组成的向量的乘积的定义吧。
还有一个记号上的规定，就是一个映射作用作用在向量组成的矩阵上如何定义，如
T ( [ e_1 e_2 ] ) 如何定义， 因为我们仅仅定义了 T作用在一个向量上，
这里是这样定义的
T( [ e_1 e_2 ] ) = [ T(e_1) T(e_2)]
我们有了上面的规定就可以把
T( [e_1 e_2 ] [a_0]
[ a_1 ] ) = [ T(e_1) T(e_2) ] [ a_0 ]
[ a_1 ]
重新写成
T( [e_1 e_2 ] [a_0]
[ a_1 ] ) = ( T [ e_1 e_2 ] ) [ a_0 ]
[ a_1 ]
写成这个样子，我们就可以说 T 是一个线性映射， 向量组成的一行的矩阵和数组成一列矩阵
相乘实际上是 向量的线性组合， 左边的式子意味着 向量{e_1, e_2}先做了线性组合，然后
再做了线性映射T, 右边的式子因为 {e_1, e_2} 先做了 线性映射，然后再做了线性组合。
左边 = 右边 ， 意味着 线性映射 和 线性组合是可交换的。
我们继续看上面式子的右边，T [e_1 e_2 ] = [ T (e_1) T(e_2) ]
T(e_1) 就是对 e_1 = 1 求导，显然 T(e_1) = 0, 然后用基 {e_1, e_2} = {1, x}
来线性表示，T(e_1) = 0 = 0 * 1 + 0 * x = 0 * e_1 + 0 * e_2
然后我们再写成 矩阵乘积的样子
T(e_1) = 0 * e_1 + 0* e_2 = [ e_1 e_2 ] [ 0 ]
[ 0 ]
同理，我们可以计算 e_2 = x 的导数 T(e_2) = 1 , 用 {e_1, e_2} 线性表示
T(e_2) = [e_1 e_2] [ 1 ]
[ 0 ]
我么还记得矩阵乘以矩阵的定义吗? 与这个类比，我们可以这样来写
T [e_1 e_2 ] = [T(e_1) T(e_2) ] = [ e_1 e_2 ] [0 1 ]
[0 0 ]
最右边的式子我们以前是没有遇到过的，因为 [e_1 e_2] 是一个由向量构成的矩阵，
[e_1 e_2] [0 1]
[0 0]
得到的是一个1x2的矩阵， 其中(1,1)元是 [e_1 e_2] 乘以第一列 [0]
[0] , 得到的是
e_1 和 e_2 的线性组合 0*e_1 + 0*e_2
而上面[e_1 e_2] 乘以2x2矩阵的 (1,2) 元是[e_1, e_2] 与第二列相乘的结果，也是一个
线性组合，组合的系数由第二列的元素给出,
[e_1 e_2] [ 1 ]
[ 0 ] = 1*e_1 + 0 *e_2 = e_1
综上，我们就可以得到
T( [ e_1 e_2 ] [ a_0 ]
[ a_1 ] ) = ( T [e_1 e_2 ] ) [ a_0 ]
[ a_1 ] = [ T(e_1) T(e_2) ] [ a_0]
[ a_1]
= ( [e_1 e_2 ] [ 0 1 ]
[ 0 0 ] ) [ a_0 ]
[ a_1 ]
其中我们已经看到了一个矩阵(由数组成的矩阵) A = [ 0 1 ]
[ 0 0 ]
这个矩阵的第一列是 T(e_1) 用基(e_1,e_2) 线性表示的系数，
第二列是 T(e_2)用基 (e_1, e_2) 线性表示的的系数。
是不是任意一个线性空间都能找到一个有限个向量构成的向量组，它可以作为
这个线性空间的基，也就是这个线性空间的任意一个向量都能用这个向量组
唯一的线性表示？不是的，如果能找到，我们称这个向量空间是有限维的线性空间，
这个线性空间的维数就定义成它的一个基包含的向量的个数。
实际上，在线性代数的课里，会花好几次课的时间来讲，来讲线性映射的矩阵，
因为在我们刚才讲的求导的例子
T: P_1 -> P_1
我们已经发现它对应着一个矩阵, 当然这个矩阵和我们选择的定义域的基
还有陪域的基 是有关系的，两个基础也不一定非要选择成同一个基。
在选定了 定义域的基是 (e_1, e_2) 和 陪域的基础是 (e_1,e_2) 后，
我们发现求导映射作用在任意个向量 u= c_1 e_1 + c_2 e_2 (我把系数的下标和基向量的下标对应 起来) 实际上是
T ( [e_1 e_2 ] [ c_1 ]
[ c_2 ] ) = ( [e_1 e_2 ] ) [ 0 1 ]
[ 0 0 ] ) [ c_1 ]
[ c_2 ]
在定义域和陪域的基础确定后，这个矩阵就是唯一确定的，第一列就是
T(e_1) 在陪域的基下的线性组合系数, 第二列就是 T(e_2) 在陪域的基下的线性组合系数。
基的线性组合系数实际上还有一个特殊的名字，叫做坐标， 用坐标的术语来说，就是
T这个线性映射的矩阵的第j列 是 T 作用在定义域的第j个基向量上 得到的 T(e_j)
在陪域的基下的坐标。
上面式子的
( [ e_1 e_2] [ A(1,1) A(1,2) ]
[ A(2,1} A(2,2) ] ) [ c_1 ]
[ c_2 ]
实际上还满足
( [ e_1 e_2] [ A(1,1) A(1,2) ]
[ A(2,1} A(2,2) ] ) [ c_1 ]
[ c_2 ]
=
[ e_1 e_2] ( [ A(1,1) A(1,2) ]
[ A(2,1} A(2,2) ] [ c_1 ]
[ c_2 ] )
我们实际上还是比较容易验证的，
左边 = [ A(1,1) e_1 + A(2,1) e_2 A(1,2)e_1 + A(2,2)e_2 ] [ c_1 ]
[ c_2 ]
= c_1 * ( A(1,1) e_1 + A(2,1) e_2 ) + c_2 * (A(1,2)e_1 + A(2,2) e_2 )
= ( c_1 * A(1,1) + c_2 A(1,2) ) e_1 + (c_1*A(2,1) + c_2 *A(2,2) ) e_2
= [ e_1 e_2 ] [ c_1 * A(1,1) + c_2 A(1,2) ]
[ c_1 * A(2,1) + c_2 *A(2,2) ]
右边 = [ e_1 e_2] ( [ A(1,1) A(1,2) ]
[ A(2,1} A(2,2) ] [ c_1 ]
[ c_2 ] )
= [e_1 e_2 ] [ c_1 * A(1,1) + c_2 * A(1,2) ]
[ c_1 * A(2,1) + c_2 * A(2,2) ]
这也是某种形式的结合律。因此，我们可以这次把前面的式子给简化一下
T [e_1 e_2] [c_1 ]
[c_2 ] = [e_1 e_2 ] A [c_1]
[c_2]
我们不用刻意用括号表示先计算哪两个相乘（或者作用了）因为有了"结合律"
哪两个先相乘（或者作用）得到的结果都是一样的。
另外，我们还可以看到 P_1 是一个二维的线性空间，因为它的一个基(e_1,e_2)
有两个向量组成。P_1中的任意一个多项式u在这个基下就有一个唯一的线性表示，
其中线性组合的系数就是u 的坐标， 例如 u = c_1 e_1 + c_2 e_2 就可以与
[c_1 ]
[c_2 ]
对应， 而 [c_1 ]
[c_2 ]
是由两个实数组成的有序数组构成的向量，是 R^2 的一个向量. 实际上P_1 和
R^2 的向量就可以建立起一个一一对应。
我们说求导映射 T 作用在 u 上, 得到的结果
T u = T[e_1 e_2] [c_1]
[c_2 ] = [e_1 e_2 ] A [c_1 ]
[c_2]
我们就可以看到从 R^2 到 R^2 的一个映射，这也是一个线性映射 S
S : R^2 -> R^2
[c_1]
[c_2] |-> A [c_1]
[c_2]
因此可以看到矩阵乘以向量确实是一个线性映射对应起来的。
如果一个线性映射是双射（既是单射又是满射），那么我们可以定义逆映射，逆映射
也会对应一个矩阵的。 如果U和V都是n维线性空间，
而且T: U -> V
是一个线性映射，而是是一个双射，那么存在一个可逆映射，记作T^{-1}
当我们选定U的基础是 (e_1, ...,e_n) , 选定 V的基是 (f_1, ..., f_n)
那么 T 对应的矩阵 A, 和 T^{-1} 对应的矩阵 B 是互为对方的逆矩阵，也就是
A*B = B*A = I
这里的I是单位矩阵，也就是对角线都是1的对角阵。对角矩阵是非对角线元素都是0的方阵。
方阵是行数和列数相等的矩阵。
A的矩阵逆记作 A^{-1}。
我在这里举的例子都是2维的定义域和陪域，实际上对于任意维的有限维空间都是适用的。
