视频 BV1wU4y1Y7UG 提到的定理 证明
cos²θ1sin²θ2
=(1-sin²θ1)sin²θ2
=cos²θ1(1-cos²θ2)
即
sin²θ2-sin²θ1sin²θ2
=cos²θ1-cos²θ1cos²θ2
即
sin²θ1+sin²θ2-sin²θ1sin²θ2
=sin²θ1+cos²θ1-cos²θ1cos²θ2
即
sin²θ1+sin²θ2-sin²θ1sin²θ2
=1-cos²θ1cos²θ2
即
(sin²θ1+sin²θ2-sin²θ1sin²θ2）
/(sin²θ1sin²θ2）
=(1-cos²θ1cos²θ2)
/(sin²θ1sin²θ2）
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
=1/(sin²θ1sin²θ2）-1/(tan²θ1tan²θ2）
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
-2/(tanθ1tanθ2）cosα-cos²θ）
=1/(sin²θ1sin²θ2）-1/(tan²θ1tan²θ2）
-2/(tanθ1tanθ2）cosα-cos²θ）
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
-2/(tanθ1tanθ2）cosα-cos²θ
=1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
-2cosθ1cosθ2/(sinθ1sinθ2）cosα-cos²θ
=1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
-2√(cos²θ1cos²θ2/(sin²θ1sin²θ2））cosα-cos²θ
=1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²
即
(sin²θ1+sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2）-1
-2√((1-sin²θ1）(1-sin²θ2）/(sin²θ1sin²θ2））cosα-cos²θ
=1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²
即
1/sin²θ1+1/sin²θ2-2
-2√((1/sin²θ1-1）(1/sin²θ2-1））cosα+sin²α
=1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²
即
a²/sin²α
(1/sin²θ1+1/sin²θ2-2
-2√((1/sin²θ1-1）(1/sin²θ2-1））cosα+sin²α）
=a²/sin²α
(1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²）
即
(a²/sin²θ1+a²/sin²θ2-2a²
-2√((a²/sin²θ1-a²）(a²/sin²θ2-a²））cosα）/sin²α+a²
=a²/sin²α
(1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²）
即
R²
=((2a/(2sinθ1））²-a²+(2a/(2sinθ2））²-a²
-2√(((2a/(2sinθ1））²-a²）(2a/(2sinθ2））²-a²））cosα）/sin²α+a²
=a²/sin²α
(1/(sin²θ1sin²θ2)
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²）
即
R
=a/sinα
√(1/(sinθ1sinθ2)²
-(1/(tanθ1tanθ2）+cosα）²）
得证
