石头剪刀布，如果得分不同怎么玩（上）

2020-01-26 23:53 作者:百分百美味手抓饼 0人读过 | 我要投稿

感谢@乔木心心，在我的文章《1A2B猜数字游戏(bulls and cows)》下提到的这个创意！！

这位兄台在构想一个游戏，石头剪刀布系统只是其中一部分，还有其他有意思的系统！这里只提取石头剪刀布系统，并对其进行了简化，只讨论“如果石头剪刀布得分不同怎么玩”。

由于我水平有限，以下只能算我尝试解题的记录、学习笔记，像“纳什均衡”等概念都是第一次接触，可能发生理解错误、计算错误、表述错误等，最后结论也不确定对，欢迎指正！

1. 根据@乔木心心的构想，简化再简化后的问题：

5（布）胜0（石头），得5分。

0（石头）胜2（剪刀），得2分。

2（剪刀）胜5（步），得7分。

有没有可以取得最优解的策略？

2. 囚徒困境——纯策略纳什平衡

我发现知乎有人问了类似的问题“石头剪刀布胜负不同权重会导致什么策略解？”。根据“Richard Xu”的解答，我知道了“纯策略纳什均衡”和“混合策略纳什均衡”这两名词。[1]

然后百度百科“纳什平衡”里面有个经典案例是囚徒困境。[2]

以下是百度百科“纳什平衡”词条里复制过来的：

囚徒困境

（1950年，数学家塔克任斯坦福大学客座教授，在给一些心理学家作讲演时，讲到两个囚犯的故事。）

假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯，对每一个犯罪嫌疑人，警方给出的政策是：如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了赃物，于是证据确凿，两人都被判有罪。如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白，则两人各被判刑8年；如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖，则以妨碍公务罪（因已有证据表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被减刑8年，立即释放。如果两人都抵赖，则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪，但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。

我在B站搜了李永乐老师有没有讲过这个，还真有：

3. 纯策略/混合策略/纳什平衡/纯策略纳什平衡/混合策略纳什平衡

根据百度百科“纳什平衡”[2]和问答库中一篇考研仿真模拟题里面的答案[3]，我自己总结了（理解和表述不一定对）：

纯策略：确定每个情况要做的特定的选择，并且始终坚持这一选择的策略，比如坚持出石头

混合策略：按确定的概率选择不同的纯策略的策略，比如坚持50%出石头、50%出剪刀

纯策略算混合策略的一种，有一个纯策略占100%，比如100%出石头。

纳什平衡：无论对方的策略选择如何，博弈中所有博弈者都会选择某个确定的策略。每个博弈者都是为了达到自己期望收益的最大值，任何博弈者单独改变其策略都不会得到好处。

纯策略纳什平衡：所有博弈者都用纯策略。任何博弈者单独改变其纯策略都不会得到好处。

混合策略纳什平衡：至少有一位博弈者用混合策略。任何博弈者单独改变其选择纯策略的概率都不会得到好处。

囚徒困境有纯策略纳什均衡，即A选择坦白、B选择坦白，如果有人单独改变策略，那他岂不是要从关八年变成关十年，没有好处。

我们这里“石头剪刀布得分不同”好像没有纯战略纳什平衡，只有混合策略纳什平衡。

我搜的时候，一会策略一会战略，一会平衡一会均衡，应该是一个东西，我尽量统一写平衡和策略，可能会哪里疏忽了产生两种表述。

4. 硬币正反——混合策略纳什平衡

百度百科“纳什平衡”里面还有个案例是硬币正反。[2]

以下是百度百科“纳什平衡”词条里复制过来的：

硬币正反

你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗？

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什平衡，一种是纯策略纳什平衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什平衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什平衡。

为什么要有“你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪”这个背景啊23333，这个百度百科词条里好像没看见出处，时间紧迫我也没搜到出处。

在百度百科里，这个案例的解题过程还挺详细的：