对一条件极值题补充几种方法

原视频:BV1zM4y1A7S7

法二:拉格朗日乘数法
令L=x+3y+m【xy²(x+6y)-1】
∂L/∂x=1+m【y²(x+6y)+xy²】=0
∂L/∂y=3+m【2xy(x+6y)+6xy²】=0
即3【y²(x+6y)+xy²】=2xy(x+6y)+6xy²
y＞0，两边同除y得
3【y(x+6y)+xy】=2x(x+6y)+6xy
即x²+6xy-9y²=0
齐次式，两边同除y²，令x/y=t，得:
t²+6t-9=0
解得t=-3+3√2或-3-3√2(舍)
(当t=-3-3√2时,x与y异号，故舍去)
即x=(-3+3√2)y
代入约束条件xy²(x+6y)=1得:
9y⁴=1，解得y=√3/3(负根舍去)
则x=(-3+3√2)*(√3/3)=√6-√3
x+3y=√6
此时海森矩阵正定，为极小值
综上，在x,y＞0范围内，原式最小值为√6
ps:此题的该解法之前做过解析，详见专栏
https://b23.tv/1bZprd0

法三:(线)隐函数求导
d(xy²(x+6y))=0
即dx[y²(x+6y)]+x[2ydy(x+6y)+y²(dx+6dy)]=0
整理得dy/dx=(xy+3y²)/(-x²-9xy)
令一阶微分方程等于目标直线斜率得
(xy+3y²)/(-x²-9xy)=-1/3
与约束条件xy²(x+6y)=1联立解得
x=√6-√3,y=√3/3
x+3y=√6
ps:此法适用于目标函数为斜率确定，截距未定直线类条件极值题，可对约束条件求一阶微分方程，令其等于目标函数斜率(即直线与曲线相切时取极值)
联立解方程之步骤同法二的解方程步骤

法四:代入+分参
令x+3y=k,则x=k-3y
代入得(k-3y)y²(k-3y+6y)=1
即(k-3y)y²(k+3y)=1
即(k²-9y²)y²=1
即k²y²-9y⁴=1
即9y⁴-k²y²+1=0
即函数f(y)=9y⁴-k²y²+1在(0,+∞)上有零点
又∵x→+∞,f(y)→+∞
∴存在y₀∈(0,+∞),使得f(y)≤0
可先求取其补集(即正难则反)
即f(y)=9y⁴-k²y²+1＞0在(0,+∞)恒成立
即k²y²＜9y⁴+1
即k²＜9y²+1/y²
即k²＜(9y²+1/y²)min
由均值不等式，9y²+1/y²≥2√9=6
故k²＜6，即-√6＜k＜√6
取其补集，即k≤-√6或k≥√6
又由,x,y＞0，故k=x+3y＞0
取交集得k≥√6
故k最小值为√6
即原式最小值为√6

法五:代入消元
约束条件整理得
y²x²+6y³x-1=0
视x为主元，代入求根公式，即
x=[-6y³±2y√(9y⁴+1)]/(2y²)
=-3y±√(9y⁴+1)/y
当x=-3y-√(9y⁴+1)/y时，x＜0，舍去
故只取x=-3y+√(9y⁴+1)/y
则x+3y=√(9y⁴+1)/y=√(9y²+1/y²)
≥√(2√9)=√6
当9y²=1/y²,即y=√3/3时取等
即原式最小值为√6