数学实现信号分析[-1]: 采样定理

采样定理简单来说就是: 已知一个连续信号, 通过采样化为离散序列, 这个序列可以用来储存或者发送, 后续可以用这个序列还原出一模一样的连续信号

但是在这里(其实更久以前也是) , 数学和物理中定义的 "频率" 并没有相同的定义, such: 这里有一个正弦信号: sin(at), 在数学中, 这个信号的频率是a, 但是在物理中, 这个信号是 a/2π.   因此, 傅里叶变换其实是有两种形式的, 对于第一种情况, 基函数应该是 e^(-iωt), 而第二种情况为 e^(-2πiωt), 在不同情况计算结果也会有所不同.

一直以来我都是在讨论着第二种情况, 所以在这里我也只讨论第二种情况, 而对于第一种情况我只会把结果发出来而已

以下记 f(t) 为信号函数, F(ω) 为频率函数(即信号函数经过傅里叶变换后得到的结果)

假设存在常数 Ω, 使得 F(ω)=0  {|ω|>Ω},  则Ω被称为自然频率或Nyquist频率, 而2Ω被称为Nyquist取样率,  那么信号函数 f(t) 则被称为带限函数

例子:  人只能听到频率为 20kHz 以下的声音,  那么把人听到的声音信号作为一个函数,  则这个函数是一个带限函数, 而对应的Ω为20000

tips:  以声音作为例子,  在现实中声音是存在超过20kHz的超声波,  所以现实的声音信号并不是带限函数,  但是我们可以人为地规定Ω=20000,  然后再对声音进行处理, 略去20kHz以上的超声波,   所以更多情况不是假设并寻找自然频率Ω, 而是人为地定下Ω后再对信号进行处理

Shannon-Whittaker采样定理

如果我们选择已知或规定了自然频率Ω, 那么则有:

其中  f(k/2π) 就是采样数据了

证明:

傅里叶相关的真的完结   (大概)

最后放出使用 e^(iωt) 作为核函数的采样定理:

例子:

实际情况中 k 是完全不可能真的累加到 ∞ 的,  所以一般我们只会把 k 取前几项而已

下面的图片就可以直观地说明采样定理公式的收敛速度有多快

f(t)原函数是黑色的, 当k取[-0, 0], [-1, 1] 等生成的函数也用颜色标示出来了