微分的历史

牛顿330、微分的历史

 

微分（百度百科）：

…微、分、微分：见《牛顿321~329》…

 

微分在数学中的定义：由函数B=f（A），得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分。

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

（…《欧几里得》：小说名…）

 

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

…集：见《欧几里得31》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英语）：n.（名词）差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差。

adj.（形容词）差别的；以差别而定的；有区别的。

——《牛顿321》

 

dx什么意思？？——网友提问

2019-09-07，想玩游戏的猫：d（x）代表对x求微分。

dy/dx 中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函数中是，微分的意思。

dx就是对x的微分，是把增量细微化，dx就是很小很小的一个x。

——《牛顿3》]

 

…极、限、极限：见《欧几里得202~321》…

微分的中心思想是无穷分割。

…思、想、思想：见《欧几里得154》…

…无、穷、无穷：见《牛顿136》…

发展历史

…发、展、发展：见《伽利略21》…

（…《伽利略》：小说名…）

 

…历、史、历史：见《欧几里得111》…

 

1、萌芽时期

 

早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。

…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

 

这些都是微积分的中心思想。

虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。

…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…

…论、证、论证：见《欧几里得149》…

…结、论、结论：见《欧几里得66》…

 

例如公元前五世纪，希腊的德谟（mó）克利特（Democritus）提出原子论：他认为宇宙万物是由极细的原子构成。

…论：见《欧几里得3》…

在中国，《庄子·天下篇》中所言的「一尺之棰（chuí），日取其半，万世不竭」，亦指0是无穷小量。

…棰：形声。从木，垂声。本义：短木棍…

[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…]

…无、穷、无穷，小，无穷小，量，无穷小量：见《牛顿280》…

 

这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。

…描、述、描述：见《伽利略34》…

 

其它关于无穷、极限的论述，还包括芝诺（Zeno）几个著名的悖（bèi）论：其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟，因为当那人追到乌龟的出发点时，乌龟已经向前爬行了一小段路，当他再追完这一小段，乌龟又已经再向前爬行了一小段路。

…芝诺（古希腊哲学家，约前490-前425）：见《牛顿224~230》…

芝诺说这样一追一赶的永远重复下去，任何人都总追不上一只最慢的乌龟－－当然，从现代的观点看，芝诺说的实在荒谬；他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。

人追乌龟经过的那段路纵然无限可分，其长度却是有限的；所以人仍然可以以有限的时间，走完这一段路。

…时、间、时间：见《伽利略10》…

 

然而这些荒谬的论述，开启了人类对无穷、极限等概念的探讨，对后世发展微积分有深远的历史意味。

另外值得一提的是，希腊时代的阿基米德（Archimedes）已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积，这跟现代积分的观念已经很相似。

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…正、确、正确：见《欧几里得13》…

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…面、积、面积：见《牛顿261》…

 

由此可见，在历史上，积分观念的形成比微分还要早——这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚好相反。

 

2、十七世纪的大发展，牛顿和莱布尼茨（cí）的贡献

 

中世纪时期，欧洲科学发展停滞（zhì）不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破。

…科、学、科学：见《欧几里得4》…

 

中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也于此时趋于成熟。

在积分方面，1615年，开普勒（Kepler）把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。

…开普勒：见《牛顿24》…

 

而伽利略（Galileo）的学生卡瓦列里（Cavalieri）即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。

…伽利略：见《伽利略》…

…卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura 1598～1647）：意大利数学家，积分学先驱者之一…

这些想法都是积分法的前驱。

 

在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。费马（Fermat）在一封给罗贝瓦尔（Roberval）的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当于现代微分学中所用“设函数导数为0，然后求出函数极点”的方法。

…费马：见《牛顿267~269》…

…罗贝瓦尔：见《牛顿272》…

…导、数、导数：见《牛顿288~294》…

另外，巴罗（Barrow）亦已经懂得透过「微分三角形」（相当于以dx、dy、ds为边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。

…切、线、切线：见《牛顿288》…

…方、程、方程：见《伽利略53》…

 

由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。

 

然而，直至十七世纪中叶，人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念。

就在这个时候，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」（或「牛顿－莱布尼茨公式」）联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。

…基、本、基本：见《欧几里得2》…

…定、理、定理：见《欧几里得2》…

…说、明、说明：见《欧几里得149》…

这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

 

“一元微积分是一元微分和一元积分的统称，其中元指的是自变量的个数，一元就表示只含有一个自变量的函数f（x）。

请看下集《牛顿331、什么是一元微积分？》”

 

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