A-2-4平衡的稳定性

2023-08-30 22:09 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

2.4.1 平衡的种类

上一节中我们研究了物体的平衡条件。而不同的平衡位置，稳定性是不一样的。

假设物体在平衡位置受到一个扰动，产生一个小的位移（角位移），到达一个新的位置。如果物体能够自己回到原来的平衡位置，那我们称刚刚的平衡为稳定平衡。比如山谷底部一个小球，往上滚动一段距离，此时合力会使它回到谷底。

同理，如果物体偏离小位移后，合力使它更加远离平衡位置，则为不稳定平衡。比如山顶的一个小球，往下滚动一段距离，此时合力使它远离山顶。

特殊的，如果物体在新的位置依然可以保持平衡，则称为随遇平衡。随遇平衡比较少见，比如水平地面上的小球。

下面我们研究如何判断平衡的稳定性。

2.4.2 平衡种类的判断

力（力矩）方法

由定义，在判断物体平衡稳定性时，只需要假设物体沿某个方向有一个小位移（角位移），如果移动后的合外力（力矩）与位移（角位移）方向相反，就是稳定平衡。

例1.如图，一根质量为m的均匀杆，长为l，下端可绕固定水平轴转动。有两根水平弹簧，劲度系数相同，拴在杆的上端，使其杆处于竖直位置。那么弹簧的劲度系数为何值时，才能使杆处于稳定平衡？

解：

如图，假设杆逆时针转过小角度 $%5Ctheta$ ，此时两弹簧与水平夹角近似为0，忽略二阶小量，弹力可视为水平。杆上端移动小位移

$x%3Dl%5Ctheta$
由于两弹簧原来水平合力为0，转动后两弹簧的合力只需要考虑合力变化量即可：

$%5CDelta%20F%3D2kl%5Ctheta$
此时顺时针的合力矩为

$%5CDelta%20F%5Ccdot%20l%5Ccos%5Ctheta-mg%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%5Ctheta%3D(4kl-mg)%5Cdfrac%7Bl%5Ctheta%7D%7B2%7D$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20k%3E%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B4l%7D%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20k%3C%5Cdfrac%7Bmg%7D%7B4l%7D%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$
当4kl=mg时，一阶小量为0，要判断平衡，需要考虑更高阶的小量，一般情况下不做考察。

有同学想探究的话，用能量的方法更为简单，假设弹簧原长为d_0，初始长度为d.将能量按 $%5Ctheta$ 泰勒展开，可以算出此时能量的二阶小量和三阶小量也都为0，四阶小量为

$-%5Cdfrac%7B5kl_0l%5E4%7D%7B4d%5E3%7D%5Ctheta%5E4%3C0$
此时为不稳定平衡。

当物体所受的主动力只有重力时，情况更为简单。

例2.如图所示，一块厚d的均匀木板位于半径为R的圆柱上，板的重心刚好在圆柱的轴上方。板与圆柱足够粗糙，板可以处于稳定平衡状态时，试求d与R满足的关系。

解：

如图，假设木板顺时针旋转 $%5Ctheta$ 角度，则此时合力矩只有重力，要使平衡稳定，只需要质心P在支点A的左侧，即

$%5Coverline%7BBA%7D%5Ccos%5Ctheta%3E%5Coverline%7BPB%7D%5Csin%5Ctheta$
由于纯滚动，

$%5Coverline%7BBA%7D%3D%5Coverset%7B%5CLARGE%7B%5Cfrown%7D%7D%7BB'A%7D%3DR%5Ctheta$
代入上式，近似到一阶小量得

$R%5Ctheta%3E%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D%5Ctheta$
故

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20d%3C2R%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20d%3E2R%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$
当d=2R时，二阶小量为0，近似到三阶小量，有

$%5Coverline%7BBA%7D%5Ccos%5Ctheta-%5Coverline%7BPB%7D%5Csin%5Ctheta%3DR%5Ctheta(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)-R(%5Ctheta-%5Cdfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Ctheta%5E3)%0A%0A%3D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ctheta%5E2%3C0$
为不稳定平衡。

能量方法

在本文开始介绍平衡种类时，不难得出，山顶山谷都是势能的极值点，山谷是势能的极小值点，山顶是势能的极大值点。由此可得势能对位移的导数与平衡的关系：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20E_p'%3D0%2C%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p''%3E0%2C%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p''%3C0%2C%E4%B8%8D%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%B9%B3%E8%A1%A1%5C%5C%20E_p%3D%E5%B8%B8%E6%95%B0%2C%E9%9A%8F%E9%81%87%E5%B9%B3%E8%A1%A1%20%5Cend%7Bcases%7D$

如果势能对位移的二阶导数也为零，那我们需要研究更高阶的导数，直到非零为止。

特殊的，如果所研究问题中只有重力势能。我们可以仿照第一种方法，假设一个小位移，观察重心是否升高即可。

在上一题中，要比较前后重心P'和P点的高度，可以通过比较他们相对O的高度。

P'相对O的高度

$h_%7BP'%7D%3DR%2B%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D$
近似到二阶小量，P相对O的高度

$h_P%3D%5Coverline%7BPB%7D%5Ccos%5Ctheta%2B%5Coverline%7BBA%7D%5Csin%5Ctheta%2B%5Coverline%7BAO%7D%5Ccos%5Ctheta%0A%0A%3D%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)%2BR%5Ctheta%5E2%2BR(1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta%5E2)$
故

$h_P-h_%7BP'%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Ctheta%5E2%7D%7B2%7D(R-%5Cdfrac%7Bd%7D%7B2%7D)$
后续讨论与上问相同。

2.4.3 练习

练1.如图所示，均质杆AB的长度为a，一端靠在光滑的铅直墙上，另一端靠在光滑固定的侧面上，侧面为柱面，柱轴垂直Oxy面。如果要使杆子在Oxy面内的任意位置均是平衡位置，则侧面应是什么形状的柱面？

答案：x^2+(2y-a)^2=a^2，椭圆

练2.如图所示，儿童玩具不倒翁髙h=21cm，质量m=300g，相对轴KD对称分布．不倒翁的下部是半径R=6cm的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度\alpha=30°的粗糙面上，当它的轴KD与竖直方向倾角\beta=45°，则处于稳定平衡状态。为了使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶K处加塑泥的质量是多少（单位:g）？

答案：84g

标签：高中物理竞赛物理竞赛