物理学与量子力学中复数的意义

在学习量子力学时，一个月经的问题就是，薛定谔方程为什么要有i？

其实这部分程度上是一个历史问题，但是在完全弄清楚这个问题之前，我们首先要弄懂i到底是做什么用的。

其实，量子力学并不是唯一在物理中使用i的理论，在处理交流电时，我们就会用到i。当然，对于电压，我们可以很容易的验证，i的使用，可以给我带来方便和正确的结果。但是由于不懂i，感情上无法接受i，大部分人也同时把这里i的使用，归咎于方便。

我们在交流电问题上使用i，真的仅仅是因为方便么？

其实大多数人并没有真正理解复数。

        描述复数域需要两个自由度。这样两个自由度，最原始的解释给出方式就是实数部分，和虚数部分，但是这不是唯一的分解方式，其实还可以分解成幅值和相位。

        你是分解成实数/虚数，还是分解成幅值/相位，不过是坐标表象的问题。我喜欢分解成位置/相位，因为这样的物理概念清晰。同样的，对于复数，我也不喜欢写成 x+iy,而是喜欢写成a*exp(ib)。

        现在回到电压问题上，对于电压，如果是直流，只需要一个自由度就可以了，就是用来表示电压的大小。这时候，没人会用复数自找麻烦。

        而对于一个交流电，我们必须同时关心它的幅值和相位。需要两个自由度，所以自然的就会引入复数。可以看到，这真的只是为了方便么？我如果不在乎方便，你就能用一个实数表示两个自由度了？

       还是说交流电压，用实数三角函数也可以算，因为我们使用一个实数波动方程，Asin(ωt)时，在这个方程中，包含了我们的两个自由度A和ω。

        但是想想清楚，三角函数其实只能在一个大的尺度上描述载线上的电压。如果现在我把目光聚焦到某一刻的电线的某一点上，请问这一点上的电压幅值会不会变，相位能不能知道？显然这两个物理量在一刻一点上依然是存在的。

        用复数，我就可以直接轻松的算出来，告诉这一点上电压的幅值是多少，相位是多少。但是只用Asin(ωt)可以么？不可以，在此刻此点，这个方程会给出一个具体的实数值，这个值称为此刻此点的电压，但是由它，既不能推出幅值，也无法算出相位。显然只用这一个方程时，会把某些信息弄丢，其实你弄丢的，就是这个电压的虚数部分，如果把虚数部分补上，你又可以算了。所以其实在交流电这个问题上，使用复数，也不是一个简单的“方便”二字可以解释的。

总结就是：物理学中必须使用复数，才能真正完整的描述一个波。