经典真假金币题升级版

今天有点无聊，想起来一道很老的金币题，大家想必都见过，题目是这样的:

“现在有10袋金币，其中有一袋金币是假的，已知一枚真金币10g，一枚假金币比真金币少1g，假设现在你手上有一个电子秤可以称出物体的重量，最少需要称几次才能知道哪袋是假金币?”

这题算是非常经典的了，所以解答我就不说了，我打算升级一下。

“现在对于上面那道题，如果不知道真金币的重量，也不知道假金币的重量(而且真假金币哪个更重也不知道)，那最少需要称几次才能知道哪袋是假金币?”

大家可以先思考一下，解答在下面↓↓↓↓

我的个人解答如下:

首先，把10袋金币依次编号1～10号(贴标签)

然后，设真金币的重量为x克，假金币与真金币的重量差值为y克，假金币的袋数编号为z，每次用电子秤测量的读数分别为α、β、δ、ε(以此类推，希腊字母)

接着，我们先从第1袋拿出一枚金币，第2袋拿出两枚金币，第3袋拿出三枚金币……第10袋拿出十个金币，然后把这55个金币放到电子秤上，记下读数α，由此可以得出以下方程:        

         

                    55x+zy= α        ①

接着我们再从每个袋子里拿出一枚金币，放在刚才有55个金币的电子秤上，进行第二次称重，并记下读数β，由此可以得出以下方程:

         

                   65x+(z+1)y=β      ②

此时大家不难看出，由于两个方程中α和β为已知量，所以我们只要再通过一次称重，得出一个与x，y，z有关的方程，便可以组成一个三元一次方程组，但这是不可能的，接下来不论如何称重，都无法得出一个有用的方程。

大家首先想到的肯定是如法炮制，再从每个袋子里拿出一个金币，然后得到方程:

                  75x+(z+2)y=δ   ③

但这个方程是无效的，因为把③－②就得到了  10x+y＝δ－β，但早在一开始得出①②两个方程的时候，这种方法就已经用过了，把②－①也会得到10x+y＝β－α，所以方程③是没有用的。

那么可能还会有人这么想: 既然这个把戏玩不通了，那就换一个，比如从第1袋拿出两个金币，第2袋拿出四个金币……第10袋拿出二十个金币，就得到方程:

                     110x+2zy=ε   ④

很遗憾，这种方法也是无效的，因为这种方法只剩单纯把方程①乘以2的结果，我们甚至可以得出ε＝2α，对于这种可以预知接下来称出金币具体重量的方法，是没有用的，不信你代入方程组中算一下就知道了。

那么，现在我们似乎已经江郎才尽了，关键是题目一开始的条件给的太少了，所以，我个人最终也只想到一种最朴素的方法，首先，我们手上有两个有用的方程:

                     55x+zy= α    ①

                    65x+(z+1)y=β      ②

我在想，如果x，y，z中如果有一个是已知量，那么这不就是一个二元一次方程组吗？可是如何知道其中一个量呢？我觉得从x入手是唯一的办法。

我的做法是这样的:

把刚才电子秤上的金币全都放回原来的袋子里，然后从第一袋中拿出1个金币放在电子秤上测出读数后放回去，再从第二个袋子拿出1个金币测出读数后放回去。现在，如果两个金币质量相等的话，那么我就成功得到真金币x的值了，再代入①②，解出这个二元一次方程组就得到z了。(注:由于不知道真假金币哪个更重，所以解出的y有可能是正数也可能是负数) 

但假设我们运气差，刚刚两个金币质量不相等，那也就是说这两个金币一真一假，那我们也只需要再从第三个袋子拿出一个金币测出读数后，刚才那两个金币肯定有一个质量不等于第三个金币，那么那个金币所对应的袋子就都是假金币。也就是说，如果运气差，我们也只需要多测一次就行了。

整理: 运气好的话，刚刚那两袋+①②两个方程所测的两次，一共4次就可以找出假金币；若运气差的话，则多一次，即5次就可以找出假金币。

综上所述: 最少需要称5次才能知道哪袋是假金币。

(这里题目问的是“最少”，所以要做最坏的打算，如果我的运气爆棚的话，我甚至不需要任何数学方法，我如果运气好前两次测出来不相等，第三次再测肯定就知道假金币哪袋了，要真运气这么好早去买彩票了)

这个文章里的方法是我自己想的，如果大佬们有更好的解法欢迎分享在评论区。