《微积分》《高等数学》全程教学视频--宋浩老师

1.1

集合：一些确定的对象或事物

eg：直线上所有的点

集合由元素组成，集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，a∈A，有限集，无限集

列举法：元素较少适用

描述法：｛a｜a具有的特征｝

N是全体自然数

Z是全体整数

Q是全体有理数

R是全体实数

R+全体正实数

R-全体负实数

R*除零以外的实数

子集：11:50自己看

∈指元素和集合，C指集合和集合

A包含于B，B包含于A，所以A=B

空集Φ不含任何元素，空集是任何集合的子集

运算A∪B，A∩B，A-B，全集Ω，补集（余集）

A∪B=B∪A，A∩B=B∩A，（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

A∪（B∩C）=（A∪B）∩（AUC）

直积：A×B=｛（a，b）｜a∈A，b∈B｝有序对

A×B≠B×A（有序！！！所以不一样）

区间（a，b）开区间，［a，b］闭区间，（a，b］，［a，b）半开半闭区间，有限区间，无限区间（引入无穷的概念）

+∞-（+∞）不确定，+∞+（+∞）=+∞，-∞-（-∞）不确定，-∞+（-∞）=-∞，+∞-（-∞）不确定

邻域：U（a，δ）=｛a-δ＜x＜a+δ｝以a为中心，δ为半径

去心邻域

1.2

二、函数

1.1、常量与变量

（一）、常量：常数，固定的量。1，-1

变量：变化的量。x，y

注：两个变量，为了研究另外一个变量的时候，把前面的变量当作常量，如：变限积分。

（二）、函数的概念：

定义域：D（x的取值范围，x∈D）

f：x→y，每一个x，只有唯一的y 与之对应，f为x→y的函数

（考点：判断关系式、表达式是否为函数）允许一对一，多对一

函数相同：定义域、对应关系都相同

注：定义域永远是自变量的取值范围。解定义域类的题，通常会有两个f()，前后f括号内的取值范围要一样。

函数表示方法

解析法（公式法）分段函数

y=[x]不超过x的最大整数

[1.5]=1 [0.3]=0 [-1,1]=-2（画数轴）

2.列表法

3.图像法

特殊函数

1.周期函数：f（x+T）=f（x），周期：最小正数T

（考点：f（x）的周期为T，则f（ax）的周期为T/a）

注：

①若f(x)和g(x)的周期都为T，那它们和差积商后的周期也为T

②若f(x)和g(x)的周期分别为T1和T2，那它们的和差积商后的周期为T1和T2的最小公倍数。

③上述周期并不是最小正周期，需用f(x)=f(x+T)再次判断。

2.奇函数和偶函数（注意定义域是否关于原点对称）

奇函数f（-x）=-f（x）：定义域关于原点对称

偶函数f（-x）=f（x）：定义域关于y轴对称

注：奇函数求导为偶函数，偶函数求导为奇函数

奇+奇=奇 偶+偶=偶 奇+偶=非奇非偶

奇-奇=奇 偶-偶=偶 奇-偶=非奇非偶

奇×奇=偶 奇×偶=奇 偶×偶=偶

奇÷奇=偶 奇÷偶=奇 偶÷偶=偶

（可参考正负号进行记忆，奇为负，偶为正，负负得正）

3.单调函数

单调增函数:如果x1<x2,那么f(x1)<f(x2)

单调减函数:如果x1<x2,那么f(x1)>f(x2)

判断函数定义域内的单调性

4.有界函数和无界函数

有界函数：|f(x)|≤M

无界函数：任给M，总有一个x0使|f(x0)|＞M

上下界函数：M1≤f(x)≤M2，M1下界，M2上界

5.反函数

原函数：y=2x 反函数：x=y/2

原来的定义域→值域 原来的值域→定义域

注：不是所有的函数都有反函数

有反函数的充要条件：与原函数一一对应

反函数与原函数关于y=x对称

6.初等函数