四边形全等的条件

今天, 我们走进四边形, 来探究一下四边形全等的条件.

哎?? 不是走进三角形嘛?

哦, 你不要急, 四边形也是三角形组成的.

一个四边形, 可以看作由 2 个具有公共边的三角形拼成的.

例如, 下图的四边形 可以看作, 由 和 组成的:

本文只讨论凸四边形, 所谓的凸四边形, 是指所有的内角都小于 180° 的四边形.

(当然, 在初中课本里, 凸四边形的定义, 不是这样写的, 在初中范围内, 它们等价)

不满足该条件的四边形, 就是凹四边形, 形状像飞镖:

下文所说的 "四边形", 都只包括凸四边形.

首先, 我们回顾一下, 三角形全等的条件.

在以下 4 种情况下, 我们可以确定出唯一的三角形:

    1. 已知三边的长度;

    2. 已知两边长度和夹角大小;

    3. 已知一边长度和 2 个邻角的大小;

    4. 已知一边长度, 其对角和一个邻角的大小;

这 4 种情况, 分别对应三角形全等的 SSS, SAS, ASA, AAS 判定依据.

显然, 如果组成四边形的两个三角形都是确定的, 那么, 该四边形是唯一的;

所以, 四边形的全等, 实际上就是, 组成四边形的两个三角形的全等.

下面, 我们就来探究一下, 四边形全等的条件.

1. 有 4 组边和 1 组角对应相等的两个四边形全等.

证明:

在四边形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', AD = A'D',

∠A = ∠A' , 连接 BD, B'D'.

则有 

因此, 四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D', 是由两组全等的三角形拼成的,

2. 有 3 组边对应相等, 且与第四条边不相邻的两角对应相等的两个四边形全等.

证明:

在四边形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D',

∠ABC = ∠A'B'C',  ∠BCD = ∠B'C'D',

连接 AC, BD.

在 ΔABC 和 ΔA'B'C' 中,

组成四边形 ABCD 和 A'B'C'D' 的两组三角形都全等, 于是有

3. 有 2 组邻边和 3 个角对应相等的四边形全等.

证明:

在四边形 ABCD 和 A'B'C'D' 中,

AB = A'B', AD = A'D', ∠A = ∠A',

∠ABC = ∠A'B'C', ∠C = ∠C',

连接 BD, B'D'.

在 ΔABD 和 ΔA'B'D' 中,

则有

,

, 

, 

,  

在 ΔBCD 和 ΔB'C'D' 中,

四边形 ABCD 和 A'B'C'D' , 能够被拆成 2 组全等的三角形, 这说明,

对于其他情况, 满足条件的四边形可能不唯一, 不能作为判定全等的条件.