实分析第三章—函数的可️微性—有界变差函数（1）

首先给出可求长的定义：

现在问题是探求x（t）和y（t）满足什么条件时是可求长的，那么我们给出有界变差的定义：

此时我们记[a,b]上有界变差函数的全体记为BV[a,b],则对任意f属于BV[a,b]，f有界。并且BV[a,b]组成一个线性空间。

那么是否是可求长我们有如下判断定理：

bounded variation:有界变差

证明如下：

下面给一些有界变差的例子辅助我们理解：

下面引入三个定义：

则我们有如下一个引理：

第一部分证明如下：

首先写出PF和NF的定义并共同加细：

此时共同加细后在进行估计：

则有：

第二部分证明如下：

这部分比较简单。

接下来看：

很简单，利用上一个定理。

证明核心定理之前，我们先对这段话中的几个表述作出证明：

3.4

3.5

注意旭日升引理：

先看开集：

再用反证法证明端点取值相同：