序数塌缩函数（OCF，Ordinal Collapsing Function）的介绍
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一、定义
OCF可以理解为无限版的FGH，同样弱化序数。
ω是起点（用无限好像可以让某一个无限不属于C(0)={0,1,ω,Ω}其中的任何一个数进行有限次运算得到的数），而进行无穷次运算——ω^ω^ω^ω^ω^……=sup{ω,ω^ω,ω^ω^ω,……}就会变成ψ(0)（这让它不属于C(0)={0,1,ω,Ω}以及它里面任何一个数进行有限次运算得到的数），用韦布伦函数理解，它是ε₀。
二、计算
再走一步，ψ(1)=ψ(0)^ψ(0)^ψ(0)^……=ε₁，（计算方法：C(1)又包括了C(0)、ψ(0)和ψ(0)进行有限次运算得到的数，而ψ(1)因为要进行无穷次运算又不属于C(1)，所以ψ(a)肯定不属于C(a)，只要找到这个不属于C(a)的最小的数就能计算ψ(a)了。ps：最小其实是因为更大的不属于C(a)的数还要用，还有有更大的C(a+1)又要包括ψ(a)了，要更大的ψ(a+1)了）继续观察：ψ(2)=ψ(1)^ψ(1)^ψ(1)……=ε₂，发现：对于任意的ψ(a)=ψ(a-1)^ψ(a-1)^ψ(a-1)^……=εₐ，要增加括号内的数字需要让整个ψ(a)进行无穷次运算才能达到ψ(a+1)
但是：ψ(ζ₀)=ζ₀，而ψ(ζ₀+1)应该不属于C(ζ₀+1)的，可是ζ₀本身就要进行无穷次的ψ运算（ζ₀=ψ(ψ(ψ(……ψ(0)……)))），是错的，无效的（只要OCF用到无穷次计算C(a)就无效了），所以ψ(ζ₀+1)的值不会变高，会定在ζ₀，ψ(α)的最大值为ζ₀无法升高:(
那怎么办？
还记得C(a)之中有一个Ω（非递归序数）吗？它就是答案。
既然C(Ω)里面出现不了ζ₀，那么我们就可以用ψ(Ω)代替ζ₀了，这样就只要1步就可以到ζ₀了，C(Ω+1)又包括ζ₀了，又可以通过ε的无限次运算继续玩了。（重大突破，利用这个定值机制，就能弱化非递归序数。前面找到规律，后面就可以省略了，并且Ω的等级会越来越高，这将让OCF越来越强）
ψ(Ω+1)=ε_ζ₀+1=ζ₀^ζ₀^ζ₀^……
ψ(Ω+2)=ε_ζ₀+1^ε_ζ₀+1^ε_ζ₀+1^……
ψ(Ω+ζ₀)=ε_ζ₀2
ψ(Ω+ζ₀2)=ε_ζ₀3
ψ(Ω+a)=ε_ζ₀+a=ε_ζ₀+a-1^ε_ζ₀+a-1^ε_ζ₀+a-1^……
ψ(Ω+ε_ζ₀+1)=ε_ε_ζ₀+1
ψ(Ω+ε_ε_ζ₀+1)=ε_ε_ε_ζ₀+1
ψ(Ω+ζ₁)=ζ₁，ζ₁直接有无穷次运算了（ζ₁=ε_ε_ε_……ε_ζ₀+1），再用Ω替换它，ψ(Ω+Ω)=ψ(Ω2)=ζ₁
ψ(Ω2+1)=ε_ζ₁+1
ψ(Ω2+ζ₁)=ε_ζ₁2
ψ(Ω2+ε_ζ₁+1)=ε_ε_ζ₁+1
ψ(Ω2+ε_ε_ζ₁+1)=ε_ε_ε_ζ₁+1
ψ(Ω2+ζ₂)=ζ₂又遇到了，再用Ω，=ψ(Ω2+Ω)=ψ(Ω3)=ζ₂
ψ(Ω3+1)=ε_ζ₂+1
ψ(Ω4)=ζ₃
ψ(Ωω)=ζ_ω
ψ(Ωζ₀)=ζ_ζ₀
ψ(Ωζ_ζ₀)=ζ_ζ_ζ₀
ψ(Ωη₀)=η₀，又来，=ψ(ΩΩ)=ψ(Ω²)=η₀
ψ(Ω²+1)=ε_η₀+1
ψ(Ω²+η₀)=ε_η₀2
ψ(Ω²+ε_η₀+1)=ε_ε_η₀+1
ψ(Ω²+ζ_η₀+1)=ζ_η₀+1
ψ(Ω²+Ω)=ζ_η₀+1
ψ(Ω²+Ω+1)=ε_(ζ_η₀+1)+1
ψ(Ω²+Ω+ε_(ζ_η₀+1)+1)=ε_(ε_(ζ_η₀+1)+1)
ψ(Ω²+Ω2)=ζ_η₀+2
ψ(Ω²+Ωa)=ζ_η₀+a
ψ(Ω²+Ωη₀)=ζ_η₀2
ψ(Ω²+Ωζ_η₀+1)=ζ_ζ_η₀+1
ψ(Ω²+Ωη₁)=η₁，再来。
ψ(Ω²+ΩΩ)=ψ(Ω²+Ω²)=ψ(Ω²2)=η₁
ψ(Ω²2+Ωη₀)=ζ_η₁+η₀
ψ(Ω²2+Ωη₁)=ζ_η₁2
ψ(Ω²2+Ωζ_η₁+1)=ζ_ζ_η₁+1
ψ(Ω²2+Ωη₂)=ψ(Ω²2+ΩΩ)=ψ(Ω²2+Ω²1)=ψ(Ω²3)=η₂
ψ(Ω²ω)=η_ω
ψ(Ω²ψ(Ω²))=ψ(Ω²η₀)=η_η₀
ψ(Ω²ψ(Ω²ψ(Ω²)))=ψ(Ω²η_η₀)=η_η_η₀
sup{ψ(Ω²),ψ(Ω²ψ(Ω²)),ψ(Ω²ψ(Ω²ψ(Ω²))),……}=ψ(Ω³)=φ(4,0)
ψ(Ω³+1)=φ(1,φ(4,0)+1)
ψ(Ω³+φ(4,0))=φ(1,φ(4,0)2)
ψ(Ω³+ψ(Ω³+1))=φ(1,φ(1,φ(4,0)+1))
ψ(Ω³+Ω)=φ(2,φ(4,0)+1)
ψ(Ω³+Ω2)=φ(2,φ(4,0)+2)
ψ(Ω³+Ω²)=φ(3,φ(4,0)+1)
ψ(Ω³2)=φ(4,1)
ψ(Ω³ω)=φ(4,ω)
ψ(Ω³ψ(Ω³))=φ(4,φ(4,0))
ψ(Ω³ψ(Ω³ψ(Ω³)))=φ(4,φ(4,φ(4,0)))
ψ(Ω⁴)=φ(5,0)
ψ(Ω⁵)=φ(6,0)
ψ(Ω^ω)=φ(ω,0)
ψ(Ω^ψ(0))=φ(φ(1,0),0)
ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(0)))=φ(φ(φ(1,0),0),0)
sup{ψ(0),ψ(Ω^ψ(0)),ψ(Ω^ψ(Ω^ψ(0))),……}=φ(φ(φ(……φ(1,0)……),0),0)=φ(1,0,0)=ψ(Ω^Ω)=Γ₀，*韦布伦函数极限*
ψ(Ω^Ω+1)=φ(1,φ(1,0,0)+1)
ψ(Ω^Ω+Ω)=φ(2,φ(1,0,0)+1)
ψ(Ω^Ω+Ω²)=φ(3,φ(1,0,0)+1)
ψ(Ω^Ω+Ω^ω)=φ(ω,φ(1,0,0)+1)
ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(0))=φ(φ(1,0),φ(1,0,0)+1)
ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(Ω^Ω+Ω^ψ(0)))=φ(φ(ψ(0),φ(1,0,0)+1),φ(1,0,0)+1)
ψ((Ω^Ω)2)=φ(1,0,1)
ψ((Ω^Ω)3)=φ(1,0,2)
ψ((Ω^Ω)ω)=φ(1,0,ω)
ψ((Ω^Ω)ψ(0))=φ(1,0,φ(1,0))
ψ((Ω^Ω)ψ((Ω^Ω)ψ(0)))=φ(1,0,φ(1,0,φ(1,0)))
ψ(Ω^(Ω+1))=φ(1,1,0)
ψ([Ω^(Ω+1)]2)=φ(1,1,1)
ψ([Ω^(Ω+1)]ψ(0))=φ(1,1,φ(1,0))
ψ(Ω^(Ω+2))=φ(1,2,0)
ψ(Ω^(Ω+3))=φ(1,3,0)
ψ(Ω^(Ω+ω))=φ(1,ω,0)
ψ(Ω^(Ω+ψ(0)))=φ(1,φ(1,0),0)
ψ(Ω^(Ω2))=φ(2,0,0)
ψ(Ω^(Ω2)+Ω^ω)=φ(ω,φ(2,0,0)+1)
ψ(Ω^(Ω2)+Ω^Ω)=φ(1,0,φ(2,0,0)+1)
ψ(Ω^(Ω2)+Ω^(Ω+ω))=φ(1,ω,φ(2,0,0)+1)
ψ(Ω^(Ω2+1))=φ(2,1,0)
ψ([Ω^(Ω2+1)]2)=φ(2,1,1)
ψ(Ω^(Ω2+2))=φ(2,2,0)
ψ(Ω^(Ω3))=φ(3,0,0)
ψ(Ω^(Ωω))=φ(ω,0,0)
ψ(Ω^Ω^2)=阿克曼序数=φ(1,0,0,0)
ψ((Ω^Ω^2)2)=φ(1,0,0,1)
ψ(Ω^(Ω^2+1))=φ(1,0,1,0)
ψ(Ω^(Ω^2+2))=φ(1,0,2,0)
ψ(Ω^(Ω^2+Ω))=φ(1,1,0,0)
ψ(Ω^[(Ω^2)2])=φ(2,0,0,0)
ψ(Ω^[(Ω^2)ω])=φ(ω,0,0,0)
ψ(Ω^Ω^3)=φ(1,0,0,0,0)
ψ((Ω^Ω^3)2)=φ(1,0,0,0,1)
ψ(Ω^(Ω^3+1))=φ(1,0,0,1,0)
ψ(Ω^(Ω^3+Ω))=φ(1,0,1,0,0)
ψ(Ω^(Ω^3+Ω^2))=φ(1,1,0,0,0)
ψ(Ω^[(Ω^3)2])=φ(2,0,0,0,0)
ψ(Ω^Ω^4)=φ(1@5)
ψ(Ω^Ω^ω)=φ(1@ω)=小韦布伦序数
ψ(Ω^Ω^ψ(0))=φ(1@φ(1,0))
ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0)))=φ(1@φ(1@φ(1,0)))
ψ(Ω^Ω^Ω)=大韦布伦序数（LVO）=sup{ψ(Ω^Ω^ψ(0)),ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0))),ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^ψ(0)))),……}=φ(1@φ(1@φ(1@……φ(1,0)……)))*多元φ函数极限*
ψ(Ω^Ω^Ω +1)=ε_LVO+1
ψ(Ω^Ω^Ω +Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω +ψ(Ω^Ω^Ω))),……}
ψ(Ω^(Ω^Ω+Ω))=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^(Ω^Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^(Ω^Ω+ψ(Ω^(Ω^Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))))),……}
ψ(Ω^Ω^(Ω2))=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^(Ω+ψ(Ω^Ω^Ω))))),……}
ψ(Ω^Ω^Ω^2)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^Ω))),ψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^(Ωψ(Ω^Ω^Ω))))),……}
ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω))),……}
ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^Ω)=sup{ψ(Ω^Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω)),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^ψ(Ω^Ω^Ω^Ω))),……}
然后：巴赫曼·霍华德序数（BHO）=sup{ψ(Ω),ψ(Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω),ψ(Ω^Ω^Ω^Ω^Ω),……}=ψ(ε_Ω+1)
这里还不是极限，这才刚开始，其实，以上都是在第一个非递归序数范围内的，后面还有第二个、第三个……那么，如何去那里呢？
终有一次，Ω也会被套无限次的，但是还不是这儿，再继续前进。（接下来可能只有简化了……）
ψ(ε_Ω₁+1)=ψ(ψ₁(0))
ψ(ε_Ω₁+2)=ψ(ψ₁(1))
ψ(ε_Ω₁+ω)=ψ(ψ₁(ω))
ψ(ε_Ω₁2)=ψ(ψ₁(Ω))
ψ(ε_[Ω₁+ε_(Ω₁+1)])=ψ(ψ₁(BHO))
ψ(ζ_Ω₁+1)（这里有无穷次运算：ε_ε_ε_……ε_Ω₁+1=ζ_Ω₁+1，就像从ζ₀到ζ₁一样）=ψ(Ω₂)，这就是第二个非递归序数了。
ψ(ζ_Ω₁+2)=ψ(Ω₂+1)，注意：这可是在Ω₂的情况下+1！这意味着：ψ(Ω₂+1)=ε_ψ(Ω₂)+1=ψ(Ω₂)^ψ(Ω₂)^ψ(Ω₂)^……直接套Ω₂……
ψ(Ω₂2)=ψ(η_Ω₁+1)，似曾相识的感觉，但是，这回直接拿Ω₁套！
ψ(Ω₂ω)=φ(ω,ψ(Ω₁)+1)
ψ(Ω₂²)=φ(1,0,ψ(Ω₁)+1)=ψ(Γ_Ω₁+1)
ψ(Ω₂^Ω₂)=φ(2,0,ψ(Ω₁)+1)
ψ(ε_Ω₂+1)=ψ(ψ₂(0))
ψ(ε_ε_Ω₂+1)=ψ(ψ₂(ε_Ω₂+1))
ψ(ζ_Ω₂+1)=ψ(Ω₃)
ψ(ζ_Ω₃+1)=ψ(Ω₄)
ψ(ζ_Ω₄+1)=ψ(Ω₅)
ψ(Ω_ω)
ψ(ε_(Ω_ω +1))=TFBO=ψ((Ω_ω)^(Ω_ω)^(Ω_ω)^……)
ψ(Ω_(ψ(Ω)))
ψ(Ω_(ψ(Ω_ψ(Ω))))
ψ(Ω_Ω)（惊现颜文字？！）
ψ(Ω_Ω_Ω)
ψ(Ω_Ω_Ω_Ω)
ψ(Ω_Ω_Ω_Ω_Ω_……)=ψ(Ｉ)=ψ(ψ_Ｉ(0))=Omega Fixed-Point
并且，更多的非递归序数，也终有一会，会被套无穷次……
还有，刚才的全部还是在非递归序数Ω里，在它之上还有Ｉ（不可达序数），现在还可以继续。
如果你觉得太孤单，与Ｉ相关的函数有Φ函数。
Φ(0,α)=Ω_α
Φ(0,Φ(0,Φ(0,……)))=Φ(1,0)=Ω_Ω_Ω_……=Ｉ（φ函数的味）
ψ(Φ(1,1))=ψ(Φ(0,Φ(0,Φ(0,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(1))
ψ(Φ(2,0))=ψ(Φ(1,Φ(1,Φ(1,……Φ(1,0)))))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ))
ψ(Φ(2,1))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ2))
ψ(Φ(3,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ²))
ψ(Φ(4,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ³))
ψ(Φ(1,0,0))=ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ))
ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^ω))=ψ(Φ(1,0,0,0,……))，Ｉ版的SVO。
ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ))，Ｉ版的LVO。
ψ(ψ_Ｉ(Ｉ^Ｉ^Ｉ^……))=ψ(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0)))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))，Ｉ版的BHO。
ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ｉ))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(……ψ_Ｉ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(0))))))，Ｉ被加强了，琢磨一下。
ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(Ω_Ｉ+1))=ψ(ψ_(Ω_Ｉ+1)(ψ_(Ω_Ｉ+1)ψ_(Ω_Ｉ+1)……(0)))
α→ψ(ψ_(Ω_Ｉ+α))的序数不动点为ψ_Ｉ(2)(0)，不要认为它是ψ(ψ_Ω_Ｉ(Ω_(Ｉ2)))。
ψ(Ｉ(3))
ψ(Ｉ(Ｉ(Ｉ……(Ｉ(Ｉ(Ｉ))))))=Ｉ(1,0)
ψ(Ｉ(1,0,0)) 多元φ函数：又学我
ψ(Ｉ(1,0,0,0))
ψ(Ｉ(1@4))
再往下走下去又有ψ(Ｉ(1@ψ(Ｉ(1@1))))等等。
如果觉得太麻烦，还有χ函数，里面还有Ｍ（马洛序数），它与Ｉ序列的关系是：
Ｉ(αₙ@(1+βₙ),……α₂@(1+β₂),α₁@(1+β₁),α₀
)=χ(Ｍ^αₙ βₙ+……+Ｍ^α₂ β₂+Ｍ^α₁ β₁,α₀)
ψ(Ｉ(ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^ω))
ψ(Ｉ(ω@ω@ω))=ψ(χ(Ｍ^Ｍ^Ｍ^ω))
就这样一直下去，你也可以自己造一个新的函数，继续下去，就像有限世界一样……
三、续集
有限的尽头是无限。那么，按理说，一直这样下去也要有个头啊。
没错，这个头就是非递归序数。
非递归序数，字面意思就是指不能用任何运算和递归关系来达到的数。因此，非递归序数就像一个升级的无穷序数。
非递归序数也分多个。第一个非递归序数是ω₁ᶜᴷ（其中，下标1表示第1个，上标cK表示非递归的教堂克林序数），即教堂克林序数。然而它依然是有限序数:(
第二个非递归序数是ω₂ᶜᴷ，它则是所有由ω₁ᶜᴷ通过各种递归运算得出的序数的集合。
运可以增强下标弄出更多的序数。（ωₓᶜᴷ）
顺便说一下，教堂克林序数可以表示忙碌海狸函数，Σ(n)的增长率为ω₁ᶜᴷ，Σⁿ(2)=ω₁ᶜᴷ+1，高阶图灵机的增长率Σₙ(n)为ωₙᶜᴷ
The end
