尝试推导牛顿插值法的差商表是如何构建的

        无意中看到一本游戏数值的书，里面讲到牛顿插值，还简单讲了一下它的思想与推导。这引起了我的兴趣，于是也在北航的《工程数值分析引论》里找到类似的内容。但这部分都是作为小引的存在，“假装”推导一下，然后就直接“类似地”，跳到如何构建差商表上。今天就想推导一下，到底是如何得出差商形式的插值公式的。

推导

        假设插值函数用表示。

        当只有一个节点  时，没什么好说的：，即函数的值都为 .

        如果我们想增加一个节点，而还能利用上一个表达式时，很自然会想到：令

因为当  时，已经满足  了，所以令后面的项为零，写成  的形式。

        上式需满足 ，故代入 ：

于是

是一个直线公式。

        那如果再加一个节点呢？类似地令

满足 ，即

是一个差商形式。

        也可化成：

这就是我们常用的形式。

        我也想，不一样可以是函数吗？画成图大概这样：

 与  一起使式子等于 。但其实  的任务只是满足一个点， 是常数也可以。

        至此，教材的小引结束，后面就是讲差商表了。但我就是不能理解“类似地”，之后的n阶也一定是这样吗？我再推一下。

比较

        列式的时候已发现， 的最末一项的因子  相乘，肯定会比前面的项多一个因子 ，这个将来就是作  的分母。而前面的项每除以一个因子（按顺序），就会变出一个差商，这很美妙。

        但这个差商形式与我们通常的形式不大一样，因为我不会推通常形式[捂脸]。如果差商通常形式的构建过程画成图是这样：

        而我推的形式是：

每一个必用到前面一列的第一个来构建，私以为还要稍稍好记（通用形式的分母易写错）。

        我相信这2种形式是等价的，但我数学太差不会推，还望大佬指点。