陶分拾捌(水)

实分析，启动！ 本节主要涉及一些概念，题目相对较少。在本章，我们要解决在上一章最后一节提出的问题，也就是构造出一个连续的数系。从“离散的”有理数到“连续的”实数，我们将引入极限的概念。 极限从序列的趋向开始，我们定义有理数序列是个映射，从自然数集的子集映射到有理数集。我们将该映射的的结果，按照整数的增长排成一列，来呈现这个映射。 尽管在定义6.2.1里我们才定义了+∞，但不重要，不是么？在这里∞只是个记号罢了。序列的标准定义并不需要用到∞。 这个定义揭示了序列极限其实是函数极限的一个特殊的例子。 上一章的接近性，这一章演变成稳定性，随后得到了最终稳定性。接近性的本质是对两个量距离的约束，稳定性通过限制全体的距离来让一串序列收束。(其实也就是最大值和最小值的距离)。最终稳定性让我们吧注意力放在收束的趋势上。最后，我们定义了柯西序列的概念，它表明这种收束最后带来了一个唯一确定的结果。 这种一步步的定义是巧妙的，它保证了每一步都没有歧义。 最后我们定义了什么是有界序列。并且得出了结论，一个有限序列一定是有界的，一个柯西序列一定是有界的 。。。。