一元三次方程解法（注释）

  标准一元三次方程的形式为ax³+ bx²+ cx+d=0 （a,b,c, d∈R, a≠0），其解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式简洁清晰，方便记忆，实际解题更为直观，效率更高。注：有资料表示，南宋数学家秦九韶至晚在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。

  卡尔丹解法:

  对于ax³+ bx²+ cx+d=0 （a,b,c, d∈R, a≠0），两边同时除以a得:

  x³+ bx²/a+cx/a+d/a＝0

  令x= y-k/3，b/a= k，c/a= m，d/a= n，则有:

  原式⇔(y-k/3)³+k(y-k/3)²+m(y-k/3)+n=0

         ⇔y³-ky²+k²/3-k³/27+ky²-2k²/3+k²/9+m(y-k/3)+n=0

          ⇔y³+(m-k²/3)y+2k²/27-km/3+n=0

  令p=m-k²/3，q=2k²/27-km/3+n，则有：

  原式=y³+py+q=0

  接下来对最为普通的一元三次方程进行分析，从而得出一元三次方程的通式通法。

  令ω=(-1+i√3)/2，若x³=A，则：

  1.x=A∧1/3

  2.x=ωA∧1/3

  3.x=ω²A∧1/3

  在这里我简单解释一下为什么是这三组解，总的来说，始满足ω³=1，才可以让原式成立。

  设x=μ+υ，则有：

  原式⇔(μ+υ)³+p(μ+υ)+q=0

          ⇔μ³+υ³+3μ²υ+3υ²μ+pμ+pυ+q=0

          ⇔μ³+υ³+(μ+υ)(3μυ+p)+q=0

  对于μ³+υ³+(μ+υ)(3μυ+p)+q=0，可以解得：μ³+υ³=-q，μυ=-p/3

  在这里对于该解做出验证：

  (μ+υ)³=μ³+υ³+3μυ(μ+υ)

  将μ³+υ³=-q，μυ=-p/3带入可得：

  (μ+υ)³+p(μ+υ)+q=0 故：所求解的答案正确

  又因为μ³与υ³均为方程y²+py-(p/3)³=0的解

  在这里利用韦达定理做出解释：

  因为μ³+υ³=-(p/3)³，μ³+υ³=-q，刚好满足该方程韦达定理所求得的值，所以μ³与υ³是y²+py-(p/3)³=0点两个根。

   对于方程y²+py-(p/3)³=0可由求根公式解得：

   y=-q/2±√[q²+4(p/3)³]/2=-q/2±√[(q/2)²+(p/3)³]

   为了方便表示，令A=-q/2+√[(q/2)²+(p/3)³]

B=-q/2-√[(q/2)²+(p/3)³]，则有：

   1.μ=A∧1/3，μ=ωA∧1/3，μ=ω²A∧1/3

   2.υ=B∧1/3，υ=ωB∧1/3，υ=ω²B∧1/3

  但由于要满足μυ=-p/3，所以只能有以下几种组合：

   1.μ=A∧1/3，.υ=B∧1/3

   2.μ=ωA∧1/3，υ=ω²B∧1/3

   3.μ=ω²A∧1/3，υ=ωB∧1/3

   在这里解释一下为什么是这3种组合，因为我需要满足当μ与υ相乘时，将ω消掉，又因为ω³=1，所以只有这3种组合。

   从而联立x=μ+υ可得出一元三次方程的解：

   x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

    x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；

   x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3).                    其中w=(-1+i√3)/2。

    最后再将p,q,m,n分别带入就可以得出一元三次方程的通式通解：(由于式子过于冗杂，这里就放出其中的一个解)