微分几何笔记|5曲面的法曲率

主要参考书籍：《复杂曲面数字化制造的几何学理论合方法》 丁汉 朱利民 著

其他参考书籍：(Dover Books on Mathematics) Manfredo P. do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces-Dover Publications (2016)

参考课程：微分几何 同济大学 贺群 

在微分几何笔记|1曲线中，我们通过寻找曲线的切向量、法向量构建了一套关于曲线的活动框架，对于曲面我们也有相同的思路去构建曲面上的框架（正交坐标架），那么首先我们要寻找曲面的法曲率。在微分几何笔记|4曲面的第二基本形式章节我们已经了解到曲面在已知临近点附近的弯曲程度可以由曲面离开他的切平面快慢来决定，但是曲面在不同方向的弯曲程度是不一致的，因此我们要进一步研究曲面上过该点不同曲线的曲率。

1.曲面上曲线的曲率

设曲面S上有一过P点的曲线C, 其表达式为，S是弧长参数，则曲线C在该点上的曲率向量,N为曲线的主法向量N为曲线的主法向量，注意不一定是在切平面上，我们对在切平面上进行分解有：

         切向部分      法向部分

2.定义法曲率 

由1我们知道在一个曲线上一点的主法向量可以呗分解为在切平面部分和垂直于切平面部分的两个分量：切向部分和法向部分，切向部分是以后我们要学到的在内蕴几何中的测地曲率部分，而法向部分就是我们所定义的法曲率，我们记作,在数值上也等于上文中的,又由于曲线上的Frenet公式，我们可以得到：

其中，N为曲线的法向量，n为曲面的法向量,theta是与曲面法向量的投影

3.性质

1.曲面上两条相切的曲线在切点上有相同的法曲率，故法曲率能够反映曲面的弯曲程度（证明略）

2.计算公式

3. 几何意义