高等数学-求积分的一些方法（II 部分分式）

这篇我们主要研究如何利用部分分式来求有理函数的积分问题

一、有理函数

形如

的函数叫做有理函数，其中p和q都是多项式

比如：

二、如何求解有理函数的积分

利用分部计算法（部分分式）求解（当然这是对于难题的通用解法）

有时候还需要用到多项式除法（又要用word编辑了//ω//）

三、多项式除法

多项式除法，就是两个多项式相除的算法，这个算法可以将复杂的多项式分式化简为很多个小项，这些小项都相对比较容易计算。

准备你的纸和笔，我们先学习如何计算多项式除法：

1.  首先我们得知道（这是小学的知识）被除式与除式的关系：
   

2. 设有有理函数

3. 进行多项式除法，建立我们小学学过的除法算法：

4. 很简单，就跟我们小学学除法的算法是一样的，只是引入了未知数x而已：

5. 分析除式和被除式之间的关系：

根据第四步，我们发现：

被除式=5x^2+x-3

除式=x^2-1

所以根据关系式，就有

6. 等号两边除以x^2-1，得到：

其实多项式除法就是用来化简多项式的.

四、部分分式

是时候回到积分的问题了

Topic就是如何利用部分分式来解决多项式积分

还是那个例子

1. 首先，看到比较难的有理函数，第一个想到的就应该是化简。怎么化简？多项式除法啊！

2. 幸运的是，我们已经在“三”中解决了这个多项式除法，得出

3. 这样有理函数就变成了这种形式

4. 我们是要求这个函数的积分，所以要对这个函数求积：

5.利用积分的运算法则，得到：

第一项十分好求，但第二项呢

显然第二项是十分烦人的，但它却要成为我引入分部公式的例子

6. 为了求解

我们得用另外一种方法，它叫做分部，规则如下：（十分重要，一定要记住）

7. 我们要运用第6步提供的公式：

先进行因式分解，即：

我们发现分母有两个线性式，分别是x+1和x-1，所以根据部分分式就有：

接下来就应该解出A和B，其实也很简单，只要同分然后确定A和B的值就行了

即

如果令x=1，那么B=3/2

如果令x=-1，那么A=-1/2

也就是

8. 代入积分式，得到

即

9.将这个结果代入原来的积分，得到