2.8 路径积分量子化（一）

在2.1节中我们介绍了正则量子化的方法，它只是量子场论中量子化的一种方式。比如我们利用Covariant对易关系：

注意G是一个c-number（这个c-number的解释比较复杂，大家可以参考书中的参考文献）。利用上面的对易关系，代替正则对易关系。这个对易关系的好处是更接近广义相对论的理论，因为他没有单独的指出一个特定的时间。但是它也可以给出相同的产生湮灭算符的对易关系。在全局渐进时空中这两个对易关系是近似等价的。

在1965年，Feynman提出路劲积分量子化。它是一个强有力的工具在量子引力和相互作用场论的量子化中，以及随之而来的重整化问题。这里只是大概的介绍，具体的研究可以参见其中的参考文献。

这个理论的基础是场和作用量函数的积分：

这里要积分整个空间。并且Z可以理解为由初始in态跃迁到out态时的跃迁振幅，在其中，J是一个产生粒子的源。关闭源时，这两个真空将还原为通常的无源真空，闵科夫斯基空间真空 0，人们可以得到：

通常根据归一化得到为1.

通过 Z 关于 J 的函数微分，可以得出：

给出这个理论的连续，时间序列Green函数。这里的角标c表示微扰理论中的Feynman图。

作为例子，我们考虑一个自由标量场的案例:

其中，L0自由标量场Lagrangian，并且无限小因子可以用来控制函数积分时的发散。我们带入Lagrangian并且通过部分积分，这个作用量变为：

我们要去掉一个边界项。则有：

这个对称算符：

它是一个对称的矩阵，并且有以下属性：

这个最后的结果是通过翻转Feynman传播子的定义。这些属性在D函数的积分中是很好定义的。

改变积分变量为：

可以将量子化形式写为：

可以看出第二项是独立于场算符的，所以可以从积分中被移除，同时第一项获得一个Gaussian类型的积分，并且可以给出一个数值因子。

因此：

其中

是Jacobian来自于积分变量的改变。

通过这个正比公式，得到：

对于自旋为1/2的场，函数Z变为：

其中eta是反对易外加的流，并且我们要改变拉矢量：

电磁场的理论相应到规范对称性。为了看到这点我们得到：

则有：

当zeta区域无穷大时，会有一个奇点。因此电磁场的量子化不能如此这样进行，问题在于规范不变性。如果我们在拉矢量中加入对称破坏项，则会在有限的zeta下获得不变的波算符和Green函数。

因为拉矢量是规范不变的，它也是独立于A中的纵向分量和类时分量。即 K 投射出横向场分量。因此，A 的纵向分量和时间分量的任何变化都会使"L"保持不变。更广义地说，通过规范变换与原始 A 相关的 A，将使"L"保持不变。

这里的分析比较复杂，读者可以参考书中的内容。