【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep136】函数的连续性在计算极限时的应用（二）

习题——

77函数的连续性在计算极限时的应用

求极限对x∈R有，x→∞时，lim{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)-x}，式中是a1，a2，...，ak给定的常数。

解：

（因为不确定中括号中各项都是非负整数，所以不能用均值不等式，因为涉及k次方，故而想到k次多项式的差值公式。）

1. 令y=[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)，则

   y-x

   =(y^k-x^k)/[y^(k-1)+y^(k-2)x+...+x^(k-1)]

   =[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)-x^k]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}

   =[[x^k+(a1+a2+...+ak)x^(k-1)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)x^(k-2)+....-x^k]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}.——分子展开前三项

   =[(a1+a2+...+ak)x^(k-1)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)x^(k-2)+....]/{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-1)/k]+[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^[(k-2)/k]x+...+x^(k-1)]}

   =[(a1+a2+...+ak)+(a1a2+.a2a3+...+.ak-1ak)/x+....]/{[(1+a1/x)+(1+a2/x)+...+(1+ak/x)]^[(k-1)/k]+[(1+a1/x^2)+(1+a2/x^2)+...+(1+ak/x^2)]^[(k-2)/k]x+...+1]}——上下同约分x^(k-1)

2. 分母各项都趋向于1，共k项，分子除了首项都趋向于0，所以，

   x→∞时，lim{[(x+a1)+(x+a2)+...+(x+ak)]^(1/k)-x}=(a1+a2+...+ak)/k.