数学有一个致命的缺陷【官方双语】【Veritasium真理元素】
我们永远也无法确切了解万事万物，总有些真命题是我们无法证明的，没人能确切知道这些命题是什么（孪生素数猜想）？
在任何能够进行基本算术的数学系统中，总会存在一些无法证明的真命题。（约翰康威 生命游戏）
- 图案的最终命运无法判定（不存在哪个算法能保证在有限时间内判定图案的结果）
- 不能保证是永久循环还是某轮终止
很多系统都是不可判定的（王氏砖、量子物理、机票订票系统、万智牌）
格奥尔格康托尔（georg cantor）:集合论
自然数的集合（可数无穷） ＜ 0到1之间的实数集合（不可数无穷）
欧几里得 【非欧几何（罗巴切夫斯基 高斯）】
微积分的核心：极限的定义是有瑕疵的
直觉论者
形式主义者 （大卫希尔伯特）
1901年 伯特兰罗素：如果集合能包含任何事物，那它也能包含其他集合，甚至包含本身。
导致有个集合R，它包含了所有【不包含它们本身的集合】，如果R不包含自身，那它就应该包含自身。如果R包含自身，那按照R的定义，它就不能包含自身。
【自指】悖论 ：理发师
修正：不把【所有集合所组成的集合】称作一个集合，不把【所有不包含其本身的集合组成的集体】称作一个集合
证明系统始于公理
公理：默认正确的陈述句（两点确定一直线）
定理：
希尔伯特对于数学有三大问题：
- 数学是否是完备的（complete）（真命题是否都有办法证明、是否都存在证明？）
- 数学是否是一致的（consistent）（是否不会产生悖论）
- 数学是否是可判定的（decidable）（有无算法能对任意一条陈述句判断其是否符合公理）
库尔特哥德尔
- 完备性的答案：不存在完备的形式系统（不完备性定理）（命题为真不意味命题可证）
- 第二条不完备定理
这个数学系统有一个不可证的真命题，数学系统不具有完备性——哥德尔不完备性定理。任何一个蕴含了基础算术公理的基本数学系统，总是存在无法写出证明的真命题。
自指悖论：Jim是我的敌人，Jim又是他自己最大的敌人。敌人的敌人是朋友，Jim实际上也是我的朋友。jim是自己最大的敌人，朋友的敌人是我的敌人，jim也是我的敌人。
（命题为真 不意味 命题可证）没法证明的真命题
哥德尔不完备性定理第二：数学里任一自洽的形式系统都无法证明其本身的自洽性。
我们期望的最理想数学系统：只能是一个 自洽 但 不完备 的系统。并且这样的系统也无法证明本身自洽，你所用的系统将来总会冒出矛盾之处，揭示其本身的不自洽。
可判定性（是否有算法，对于任一陈述句，都能判定它能否从公理推出来）
艾伦图灵
停机表明程序运行至终止状态
对于给定的输入纸带，有没有办法事先预测程序能否停机？
停机问题 可判定性问题
假设机器h:能判定任意图灵机对于任一特定输入是否会停机
h+：有个部件只要收到输出结果为停机就会跑死循环，输出结果不停机就会立刻停机。
输入H+代码：如果h结论是H+永不停机，那么h+会立刻停机。如果h觉得h+会停机，那么h+就会陷入死循环。
唯一合理的解释是：根本不存在h这样的机器。没有通用的办法能判定图灵机对于给定的输入是否会停机。
不存在一个算法能对每一个命题正确判定其是否由公理推出。（不可判定问题）
