神秘的“矩阵”

上一篇我们讲到了“1+1=2”的数学内含，也许在数的世界里，本身就蕴含着万物静态或动态的“规律”。基于“数集”和“运算”，行列式、矩阵成了现代科学问题的重要转化对象。换句话说，你似乎可以发现，矩阵运算在生活中无处不在，起初主要为解决线性方程组服务的，但随着研究的深入，发现其蕴含的“分支”有着丰富的数学应用价值，也成为了独立的学科——《线性代数》。

对于“鸡兔同笼”、“牛吃草、追及”、“盈虚有数”等等都是以“两元”为基础（元指代的是问题研究的对象），由此二元一次方程组的元素系数便构成了最简单的二阶矩阵。而推广到N阶矩阵的基础则是三阶矩阵（这似乎和古文中“三亦是多”的概念不谋而合），其中三阶方阵又是最为基本的。所以，熟悉三阶方阵的特点，往往就可以推广到更高阶的矩阵特征。

对于两个三阶方阵A和B来说，通常会考虑存在内在的联系，譬如：等价（存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B）、合同（存在可逆矩阵P，使得P^TAP=B）、相似（存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B）、正交相似（相似的基础上，P为正交矩阵，即P^T= P^-1）等。由此，正交相似矩阵一定是相似且合同的，而且不论是相似矩阵还是合同矩阵，都是等价矩阵。

而一个三阶方阵需要用9个元素填充其内，而且还是以“面排列”形式的二维数据，当然，依据固定要求可存储为一行，但还可以压缩相关的数据。譬如：卫星上存在的坐标转换矩阵则通过四元数存储（即四个数表示一个矩阵）。而对于一个三阶可逆方阵，最重要的就是寻找它的“特征值”与各个特征值对应的“特征向量”，这也可以看成是三阶可逆方阵的压缩信息源。那么，可逆三阶方阵A的充要条件有什么呢？主要包括：A的行列式|A|≠0；A的秩r（A）=3；行向量和列向量均线性无关；Ax=0只有零解。

关于特征值和特征向量，一般用λ和α表示，则按照定义，其满足λα=Aα，转化即求(λE-A)α=0存在非零解，即特征方程|λE-A|=0（若只有零解，则|λE-A|≠0）。那么，有关可逆方阵A中特征值的一般特性有：A和AT有相同的特征值（这就表明了有相同特征值的方阵不一定相同）；若A的每行元素或每列元素绝对值之和小于1，则|λ|也小于1；特征值之和等于方阵A对角线元素之和（也称之为“迹”），特征值之积等于|A|（这是最为重要的一条特征，可以表征出特征值与方阵元素和行列式之间的关系）；若特征值互不相同，其对应的特征向量线性无关（需要注意的是：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关）。由此，可以推出：kλ是kA的特征值；λ^k是A^k的特征值；1是单位阵E的特征值；|A|/λ是A伴随矩阵A*的特征值。

对于A的特征方程得到一组线性无关的特征向量构成Q，则可使得Q^-1AQ=，得到的结果为对角矩阵，且对角线元素即为特征值。当然，当特征方程有重根时，就不一定有完备的线性无关的特征向量使得其对角化。但是，对于特殊的实对称矩阵来说，其必定能对角化，且不同特征值对应的特征向量必定是正交的，从而可以根据施密特正交化过程（过程如图1）得到正交向量组Q^T= Q^-1，其中Q的列和行均为单位向量，因此也称之为标准向量组。

进而，若A是个实对称方阵，其存在二次型和标准形的转化，在统计和解析几何中应用颇为广泛。转化主要分为三种：配方法（注意区别平方项和交叉项）、初等行/列变换法（左乘初等行变换，同时右边作用初等列变换，如图2所示）和正交替换法（此法较为繁琐，一般不用）。

另外，对于对角矩阵进而可以化为规范形（即以0，-1和1构成的对角矩阵元方阵），如图3所示。

则它们的个数依次可以代表0指数、负惯性指数和正惯性指数。据此标准形或者规范形后，可以将其分为正定（全>0）、负定（全<0）、半正定（全≥0）、半负定（全≤0）和不定，除不定外，其余四种构成了方阵的有定性。方阵进过非退化线性变换后，原本的有定性不变。因此，正定方阵的充要条件如下：标准形中平方项系数均为正数；正惯性指数为方阵阶次；与单位阵E合同；其特征值均为正；各阶顺序主子式为正。而其行列式为正仅仅是必要条件。若A正定，则其逆矩阵、伴随矩阵、高次矩阵均正定，且主对角元素为正。正定矩阵的和矩阵也正定。

以上是有关矩阵的背景性质和属性，有些“好”的矩阵（如：正定、对称等）都有丰富的“特殊性”，那么正定对称阵就是“上乘”矩阵，越是“上乘”就越是“稀缺”，这个似乎是肯定的。而在实际问题的研究中，涉及矩阵的通常有：坐标系转换（旋转矩阵、波矢分析）、谱矩阵（一般是共轭对称阵）、三维曲面二次型矩阵（包括平方项和交叉项）、Hessian矩阵（对称阵，可用于极大似然函数法的参数估计）、协方差矩阵（对称阵）、▽算符等等。

无论是求解线性方程组的解还是求拟合方程的参数，均可以构造系数矩阵进行线性化处理。当然，实际上，观测样本往往会远远大于需求解的各单元或待拟合参数的个数，可认为其为“超定方程”，但其依然可以得到系数矩阵进行求解。随着计算机水平的飞速发展，这些问题基本上都可以转化成计算机语言进行运算处理，从而得出结果，并同时给出相关的误差范围。需要注意的是，这里考虑的样本认定是“同权”的，即每一个样本都是独立同分布，才往往适用，而当出现每个样本独立不同分布，却需要用同样的拟合函数进行拟合时，是需要考虑“加权”的（权重“重分配”），亦或是通过“蒙卡”的思想多次进行数据“重采样”，得到更加可靠的拟合结果。对于样本，还能通过聚类得到分类结果，也可以通过主成分分析得到各个成分（或者“元”）对结果的贡献程度等。

往往可以将实际问题抽象成数学表达——“矩阵”，基于矩阵的各种运算得到问题的解答，便是现代科学分支的重要基石之一，它串联起了函数、方程组、解析几何、概率与统计学等，将信息学和计算方法相联，搭建起观测与理论中的“桥梁”，引你“渡过”这片看似深沉的泥淖，探索桥下泥淖的“长度”、“深度”和“密度”，回头看看已是溪水汨汨，清澈见底，倒影着蓝天白云，彻底变成了一番模样。