高考立体几何噩梦-外接球，四大模型KO！|小姚老师

圆柱与直棱柱

例题1 看到线面垂直想到把三棱锥放入圆柱中

根据正弦定理算得三角形PBC的外接圆半径

但题目往往会

（1）隐藏垂直条件，需要我们自己发掘

（2）或者隐藏数据，研究动态几何最值问题

第一类：隐藏垂直条件（标出已知的长度数据，观察出是什么特殊图形）

通过∠BAC=90°和SA⊥AB得到AB⊥平面SAC

接下来依然是通过正弦定理和勾股定理计算

第二类：动态最值问题（难）

将用的未知量设出来

1、先通过题目给的外接球体积算出外接球半径为3，所以至此题目中只有两个数据：外接圆R=3， AB =2

2、根据垂直关系将三棱锥放入圆柱中，用勾股定理得到R,r，h的关系式

3、将三棱锥体积用字母表示出来，接下来求最值的思路有两个：

①利用不等式（一般快一点）

②利用方程关系式消元，变成函数求最值

若式子中有根号，往往把东西都放在根号里比大小，研究最值

绿色基本不等式部分：

把h平方看成a，4r方减4看成b ，36－4＝4r²+h²－4

记得检验等号成立条件

直棱柱也可用这种套路做

ps.但是斜棱柱没有外接球

圆锥（球心在椎体内部还是外部都ok）

有时题目只给了母线长，但也能和①式联立，求出半径

如果题目给了侧棱长=母线长，即侧棱长都相等的椎，都可以补成圆锥去求

若侧棱长都相等的椎底面还是正多边形，则该椎体为正棱锥。

eg.静态

eg.动态

看到正四棱锥（底面为正方形）→ 将其放入圆锥中 →

无脑背方程R²=r²+（h-R）² → r、h未知，但知道母线长l

l²=r²+h² →用字母表示出正四棱锥体积 → 这里因未知数有3个，用不等式不方便，所以用函数消元 → 消掉r² 得到2/3h×（6h-h²） 【这里是高次函数，要求导，这对于我一个高一学生超纲了呜呜呜】

圆台和棱台（球心在台体内部还是外部必须要分开讨论！）

有时题目没说h，可根据直角梯形把l转化成h

结合正弦定理求r1，r2（底面三角形外接圆半径）2R=a/sinA

eg.

解方程：一、遇到不会解的方程，先考虑用特殊值

这题第二个式子：看到9（3²）和16（4²）想到R²=25（5²） 算得表面积为100π

第一个式子：这里代入25，发现式子不成立，多代入几个数

R²的取值一定要比16大，即R²≥16

∴根号下R²-9≥根号7（因为16-9=7）

根号7已经比1大了，加上一个正数只会更大，所以第一个方程无解

二、正规方法解方程

法一：移项，用平方去做

法二：有理化，平方差公式

立方体和长方体

区别：圆柱的是垂直底面，底面三角形啥样都行，墙角体底面三角形得垂直

eg.三垂直→墙角体

三组对棱分别相等的椎体（补成长方体）

正四面体（补成立方体）