一类特殊数列递推式求通项

该类题在多处考察过多次。

该类题最早出现在thussat上，之后被不断改编。

该类题做题的方法就是用递推关系相减，然后就再观察递推公式的特点，最后平方发现共同特点，就可以同构，最后就可以做出来了。

数列在高中的学习中，我们知道等差数列和等比数列以及某些特殊的数列的通项公式及前n项和。但是仅仅掌握这些是不够的，接下来说一下数列的通项公式及求和的一些方法。

    一、数列通项。

    1.定义法

      顾名思义，就是可以看出数列an或者关于an的表达式，比如an2-1等等，求出表达式的通项公式，就可以求an的通项公式。

      例1：已知数列an满足an2-an-12=1,a1=1,求an的通项公式、

         解：由题可以看出an2是以1为首项，1为公差的等差数列

           故an2=1+(n-1)=n

           an=√n(n∈N+)

    例2：已知数列an,bn,a1=b1=1。bn是等差数列，公差为1，且满足(1/an+1)-(1/an)=b2n+2-b2n，求an.

    2.累加法

        由例2的解题步骤，我们发现用了累加法。什么是累加法？对于数列an,bn.满足an-an-1=bn,这样我们就可以求an的通项公式了，具体步骤如下：

    3.累乘法

        与累加法类似，累乘法适用于an=bn*an-1时的情况。

    4.配凑法

        an=man-1+bn（m≠1）时，可用配凑法。

    5.特征根法

        ①形如pan+1+qan+r=0的数列，列出特征根方程px²+qx+r=0

        如果x₁≠x₂，则可设an=c₁x₁n+c₂x₂n,代入a₁,a₂解出c₁,c₂代回原式即可

        如果只有一解（两根相等），an=(c₁+nc₂)xn

        如果无解，则an就是周期数列

        ②

（此图片来源于网络）

    6.其它

        其它方法比较多，有取到数法，裂项法（主要求前n项和），结合以上方法基本就可以做出来了

    ！！！.若表达式中有Sn和an一般 往下写一次（即将n+1代换n再写一个表达式），然后两式相减。

    ···.有些特殊的递推式也需要两式相减，如

，再向前写一项，两式相减就可以了。

    。。。.迭代法

    ，，，.取对数法

    二、数列求和

    1.公式法

        这个大家都很熟悉了，直接套公式就行。

    2.裂项相消（很常用）

        如果遇到很麻烦的求和的话，不要紧张，一般都是裂项求和。放缩裂项在证明不等式中也很常用。

        一般形式an=bn+1-bn，Sn=bn+1-b1    

        有一年的高考题：

求前n项和。

        可以裂项

然后再求前n项和。

（部分放缩裂项）

    3.倒序相加法

        其实这在求等差数列前n项和中有所体现。

    4.错位相减法

        其实这在求等比数列前n项和中有所体现。

        错位相减法求数列前n项和适应于cn=anbn，其中an是等差数列，bn是等比数列。

    5.分组求和法

        顾名思义，就是把数列拆成几个部分，分别求前n项和，再相加。

    ☆数列an=n2的前n项和 ：

        由于n3-（n-1）3=n2+(n-1)2+n2-n =2n2+(n-1)2-n=3n2-3n-n+1

☆斐波那契数列

通项公式：

    用特征根法求：