格子Boltzmann方法·前言

    流体（如空气和水）是自然界中最为常见的物质。流体内部分子间的相互作用力比较小，即使受到非常小的外力也会发生变形。  在大多数情况下，流体可以认为是连续体。在这种假设下，虽然不同流体可能有明显差别，但他们都遵循相同的运动规律。数学上，流体的宏观运动可以用一组非线性偏微分方程描述，即Navier-Stokes方程。

    流体力学就是研究流体运动规律的一门学科,其范围非常广泛。经过多年的发展,流体力学已经取得了丰硕的成果。但是由于流体运动的复杂性,流体力学还面临着巨大的挑战。数学上，流体运动的复杂性反映在控制方程的非线性。除了某些简单的情况外,很难获得这些偏微分方程的精确解。对于大多数的实际问题,必须采用实验方法或数值解法。 随着计算机技术的发展，数值模拟方法已经成为流体力学研究中的一种重要手段和工具，并且日益受到人们的重视。这一领域已经发展成为流体力学的一个分支，即计算流体力学(CFD)。

    设计模拟流体运动的数值方法有两种途径，即基于宏观连续模型的自顶向下方法和基于微观离散模型的自底向上方法。传统的计算流体力学中的数值方法大多是利用自顶向下方法设计的。这类方法以非线性的微分方程为出发点,采用有限差分、有限体积、有限元或有限谱等离散方法对微分方程进行离散，得到代数方程组或常微分方程系统；然后再用标准的数值方法求解。虽然这类自顶向下方法比较直观，但仍然存在许多不足。例如，在这类方法中人们往往着重分析从连续微分方程到离散代数方程的截断误差，而忽视了离散过程中某些物理量的守恒性。对某些系统而言，为了得到合理的结果，这种守恒性要求是非常重要的。另外，数值稳定性也是这类方法的一个重要问题。

    与上述自顶向下方法完全不同，自底向上方法的出发点是流体的微观离散模型。我们知道，流体的宏观运动是大量流体分子微观运动的统计平均结果，单个分子的运动细节并不影响宏观运动的特性。例如气体和液体有完全不同的微观分子结构，分子的运动方式也大不相同。但是，对同一类流动(如圆柱绕流)，只要流动的 Reynolds 数相同，气体和液体的流动特性是完全相同的。因此，我们可以构造这样一种人工微观模型，使其在保持真实流体的基本特征的前提下，结构尽可能的简单，粒子运动的细节尽可能的简化，且其宏观统计特性符合客观运动规律。这样，我们就可以借助这种人工微观模型模拟真实的流体系统。近年来备受人们关注的介观方法(包括格子 Boltzmann 方法及其前身格子气自动机、离散Boltzmann方法、离散统一气体动理学格式等)就属于这类模型。

    在介观方法中，流体被抽象为大量的微观粒子，并且这些粒子根据某些简单的方式在规则的离散格子上碰撞和迁移，通过对粒子的运动进行统计，就可得到流体的宏观运动特性。从离散的网格来说，介观方法具有Euler 方法的属性；从离散的粒子观点来说，介观方法又有 Langrange 方法的属性。介观方法的这种粒子特性也使其具有许多常规数值方法没有的独特优点,如物理图像清晰，边界处理容易和本质并行性等。介观方法还提供了联系宏观和微观的可能性和现实性。它既能直接计算流体的粘性，又可在一定条件下逼近 Navier-Stokes 方程。同时，介观方法这种用简单模型实现复杂系统的数学建模方法,也打破了传统的建模观念，为其他复杂系统的建模提供了新途径。从这种意义上来说，介观方法不应当仅仅被认为是一种计算方法。

    “Many physical phenomena and engineering problems may have their origins at molecular scales, although they need to interface with the macroscopic or ‘human’ scales. The difficulty arises in bridging the results of these models across the span of length and thime scales. The lattice Boltzmann method attempts to bridge this gap.” 著名学者田长霖先生曾在专著中指出格子Boltzmann方法有望建立跨越多个时空尺度的物理模型。这里说的格子Boltzmann方法（LBM）是近三十年来发展起来的一种新兴的介观流体系统模拟方法，其介观尺度的建模思路与传统的计算流体力学方法不同，具有许多传统方法无法比拟的独特优势。

    从物理角度看，LB方法可以比较方便地处理流体与固体边界、不同流体组分（相态）之间等复杂的相互作用，且不需要借助经验或半经验的模型，传统的数值方法很难做到这一点。另一方面，从数值方法角度看，LB方法属于显式时间推进格式，每个时间步的计算量为O(MN)(M为离散速度数，N为计算网格数)，其计算效率要高于一般的数值方法。同时，LB方法的演化过程非常简单清晰，设计的计算都是局部性的，具有天然的并行性，适合大规模并行计算。正是基于这些优势，LB方法自诞生之日起就收到包括物理、数学、计算机和其他领域的学者广泛关注。

目前,除了在一般的流体力学问题中得到了成功的应用外，格子 Boltzmann 方法在多相流、化学反应扩散、渗流粒子悬浮流、磁流体力学以及复偏微分方程数值解等相关领域也得到了比较成功的应用。近年来在基本理论、基本模型和应用等各方面都有所发展，具体可参看关于LB方法的不同时期的综述性论文[1-4]。

应当指出的是，在 LB 方法的发展过程中,华人学者做出了杰出的贡献。许多基本概念、基本模型和理论都是华人科学家提出和完成的。在国内，LB方法的研究开展的也是比较早的，并取得了很多的有价值的成果。每年举办的基于LB方法的研讨会,也极大地推动了国内在这方面的研究工作。

[1] Benzi R, Succi S, Vergassola M. The lattice Boltzmann equation: theory and applications. Physics Reports, 1992, 222(3): 145-197.

[2] Chen S, Doolen G D. Lattice Boltzmann method for fluid flows. Annual review of fluid mechanics, 1998, 30(1): 329-364.

[3] Aidun C K, Clausen J R. Lattice-Boltzmann method for complex flows. Annual review of fluid mechanics, 2010, 42: 439-472.

[4] Succi S. Lattice boltzmann 2038. Europhysics Letters, 2015, 109(5): 50001.