zeta ζ 函数函数方程的简单证明

2023-07-15 22:13 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

本文基本上就是[这篇论文] (M Knopp 2001, "EASY PROOFS OF RIEMANN’S FUNCTIONAL EQUATION FOR ζ(s) AND OF LIPSCHITZ SUMMATION") 的翻译和重新排列. 这个证明的好处就是不需要 ζ 的积分形式, 只使用原本的无限求和形式就可以证明.

由于接下来会大量使用无限求和, 所以这里声明一下: $%5Csum_n$ 表示 n 取全体整数, $%5Csum_%7Bn%5Cne0%7D$ 表示 n 取非零整数, $%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D$ 表示 n 取大于等于 0 的整数.

另外再重温一下: Reimann ζ 原本定义为 $%5Czeta(s)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7Bn%5Es%7D%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E1$ , 并且 Reimann 给出其函数方程 $%5Czeta(s)%3D2%5Es%5Cpi%5E%7Bs-1%7D%5Csin%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20s%7D2%5Cright)%5CGamma(1-s)%5Czeta(1-s)$ .

这里引入一个 Reimann ζ 的拓展版本: Hurwitz ζ, 它的定义为

$%5Czeta(s%2Ca)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cfrac1%7B(n%2Ba)%5Es%7D%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E1$

可以看出, 当 a = 1 时, Hurwitz ζ 变为 Reimann ζ $%5Czeta(s%2C1)%3D%5Czeta(s)$ . 另外再引入一个 "周期 ζ 函数" 定义为

$F(s%2Ca)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ina%7D%7D%7Bn%5Es%7D%2C%5C%2C%5CRe(s)%3E1$

并且由指数函数的性质可以知道, 当 a 为整数时, 周期 ζ 也会变为 Reimann ζ: $F(s%2Ca)%3D%5Czeta(s)%2C%5C%2Ca%5Cin%5Cmathbb%20Z$ .

那么 Hurwitz ζ 在 Re(s) > 1 以及 0 < a ≤ 1 时有函数方程

$%5Czeta(1-s%2Ca)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(2%5Cpi)%5Es%7D%5Cleft(e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2Ca)%2Be%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2C-a)%5Cright)$

当 a = 1 时, Hurwitz 函数方程就变为 Reimann 函数方程

$%5Czeta(1-s)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(2%5Cpi)%5Es%7D2%5Ccos%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpi%20s%7D2%5Cright)%5Czeta(s)$

使用 1-s 替换 s 就可以变为文章开头给出那种形式的 Reimann 函数方程.

这部分引入并证明一个非常有用的工具, Poisson 求和

$%5Csum_ny(n)%3D%5Csum_m%5Chat%20y(m)$

其中 $y(t)%5Cin%20L%5E1(%5Cmathbb%20R)$ , ŷ 为 y 的 Fourier 变换: $%5Chat%20y(f)%3D%5Cint_%5Cmathbb%20Ry(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20ift%7Ddt$ .

证明: 定义一个周期为 1 的函数 γ, 并定义 γ̂ 为它的 Fourier 级数

$%5Cgamma(t)%3A%3D%5Csum_ny(t%2Bn)%3D%5Csum_m%5Chat%20%5Cgamma_me%5E%7B2%5Cpi%20imt%7D$

由 Fourier 级数的定义有

$%5Chat%5Cgamma_m%3D%5Cint_0%5E1%5Cgamma(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt%3D%5Cint_0%5E1%5Csum_ny(t%2Bn)e%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt$

交换积分求和顺序, 然后使用 t-n 替换积分变量 t 得

$%3D%5Csum_n%5Cint_%7B-n%7D%5E%7B1-n%7Dy(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20im(t-n)%7Dd(t-n)$

$%3D%5Cint_%5Cmathbb%20Ry(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt%3D%5Chat%20y(m)$

那么有

$%5Csum_n%5Cdelta(t%2Bn)%3D%5Csum_m%5Chat%5Cdelta(m)e%5E%7B2%5Cpi%20imt%7D%3D%5Csum_me%5E%7B2%5Cpi%20imt%7D$

其中 δ 是 Dirac δ 函数, 并且 δ̂(f) = 1. 然后有

$%5Csum_m%5Chat%20y(m)%3D%5Csum_m%5Cint_%5Cmathbb%20Ry(t)e%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt$

$%3D%5Cint_%5Cmathbb%20Ry(t)%5Csum_me%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt$

因为求和是全体整数, 所以使用 -m 替换 m 不会改变结果, 得

$%3D%5Cint_%5Cmathbb%20Ry(t)%5Csum_n%5Cdelta(t%2Bn)dt%3D%5Csum_ny(n)$

定理 1: 在 Re(s) > 1, 0 ≤ a < 1 和 Re(τ) > 0 时有

$%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(-2%5Cpi%20i)%5Es%7D%5Csum_m%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7B(m%2Bi%5Ctau)%5Es%7D$

证明: 定义函数 y

$y(t)%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%2C%26t%3Ea%5C%5C0%2C%26t%5Cleq%20a%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

那么根据 Poisson 求和有

$%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%3D%5Csum_ny(n)%3D%5Csum_m%5Chat%20y(m)$

$%3D%5Csum_m%5Cint_a%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(t-a)%7D%7D%7B(t-a)%5E%7B1-s%7D%7De%5E%7B-2%5Cpi%20imt%7Ddt$

$%3D%5Csum_m%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau%20t%7D%7D%7Bt%5E%7B1-s%7D%7De%5E%7B-2%5Cpi%20im(t%2Ba)%7Dd(t%2Ba)$

$%3D%5Csum_me%5E%7B-2%5Cpi%20ima%7D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%20it(m-i%5Ctau)%7D%7D%7Bt%5E%7B1-s%7D%7Ddt$

$%3D%5Csum_me%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20it(m%2Bi%5Ctau)%7D%7D%7Bt%5E%7B1-s%7D%7Ddt$

使用 $-%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%5Cpi%20i(m%2Bi%5Ctau)%7D$ 替换积分变量 t 有

$%3D%5Csum_me%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cint_0%5E%5Cinfty%5Cleft(-%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%5Cpi%20i(m%2Bi%5Ctau)%7D%5Cright)%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7Dd%5Cleft(-%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%5Cpi%20i(m%2Bi%5Ctau)%7D%5Cright)$

$%3D%5Csum_m%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7B(-2%5Cpi%20i(m%2Bi%5Ctau))%5Es%7D%5Cint_0%5E%5Cinfty%20t%5E%7Bs-1%7De%5E%7B-t%7Ddt$

此时积分式实际上是 Γ 函数的定义

$%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(-2%5Cpi%20i)%5Es%7D%5Csum_m%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7B(m%2Bi%5Ctau)%5Es%7D$

引理 1: 在 Re(s) < 0 和 0 ≤ a < 1 时有

$%5Clim_%7B%5Ctau%5Crightarrow0%5E%2B%7D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%3D%5Czeta(1-s%2C1-a)$

证明: 当 τ → 0+ 时, 上式左边为 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D$ , 这与直接由定义表示的 ζ(1-s, 1-a) 是一致的, 那么只需证明其收敛性

$%5Cleft%7C%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%5Cright%7C%5Cleq%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D%5Cright%7C$

记 Re(s) = σ

$%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-%5Csigma%7D%7D%5Cleq%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1%7B(n-a)%5E%7B1-%5Csigma%7D%7D%3D%5Czeta(1-%5Csigma%2C1-a)%3C%5Cinfty$

引理 2: 在 Re(s) > -1, 0 ≤ a < 1 和 τ > 0 时, 式子

$%5Csum_%7Bm%5Cne0%7De%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cleft((m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%5Cright)$

收敛, 并且当 $%5Ctau%5Crightarrow0%5E%2B$ 时恒等于 0.

证明: 应用广义二项式定理 $(a%2Bb)%5Es%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7Ds%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7Da%5E%7Bs-n%7Db%5En$ 有

$(m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D%3Dm%5E%7B-s%7D%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Bi%5Ctau%7Dm%5Cright)%5E%7B-s%7D%3Dm%5E%7B-s%7D%5Cleft(1-s%5Cfrac%7Bi%5Ctau%7Dm%2B%5Csum_%7Bn%5Cgeq2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bi%5Ctau%7Dm%5Cright)%5En%5Cright)$

即

$(m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%3Dm%5E%7B-s%7D%5Csum_%7Bn%5Cgeq2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bi%5Ctau%7Dm%5Cright)%5En$

$%3Dm%5E%7B-s-2%7D%5Csum_%7Bn%5Cgeq2%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B(i%5Ctau)%5En%7D%7Bm%5E%7Bn-2%7D%7D%3Dm%5E%7B-s-2%7D%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%2B2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B(i%5Ctau)%5E%7Bn%2B2%7D%7D%7Bm%5En%7D$

$%3D-m%5E%7B-s-2%7D%5Ctau%5E2%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%2B2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B(i%5Ctau)%5En%7D%7Bm%5En%7D$

由于组合数为 $%5Cbegin%7Bpmatrix%7Ds%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cfrac%7Bs-k%2B1%7Dk$ , 所以 $%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bpmatrix%7Ds%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright%7C%3D%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bs%2B1%7Dk-1%5Cright%7C$ , 不难知道当 k ≥ 1 和 |s| ≥ 1 时有 |(s+1)/k - 1| ≤ |s|, 此时 $%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bs%2B1%7Dk-1%5Cright%7C%5Cleq%7Cs%7C%5En$ ; 当 k ≥ 1 和 |s| < 1 有 |(s+1)/k - 1| < 1, 因为小于 1 的数相乘总是小于 1, 所以此时有 $%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%5Cleft%7C%5Cfrac%7Bs%2B1%7Dk-1%5Cright%7C%3C1$ , 结合两个区域的结论可以得出: $%5Cleft%7C%5Cbegin%7Bpmatrix%7Ds%5C%5Cn%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright%7C%5Cleq%7Cs%7C%5En%2B1$ . 那么

$%5Cleft%7C-m%5E%7B-s-2%7D%5Ctau%5E2%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D-s%5C%5Cn%2B2%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cfrac%7B(i%5Ctau)%5En%7D%7Bm%5En%7D%5Cright%7C%5Cleq%7Cm%7C%5E%7B-%5Csigma-2%7D%5Ctau%5E2%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(%7Cs%7C%5E%7Bn%2B2%7D%2B1%5Cright)%5Cfrac%7B%5Ctau%5En%7D%7B%7Cm%7C%5En%7D$

$%3D%7Cm%7C%5E%7B-%5Csigma-2%7D%5Ctau%5E2%5Cleft(%7Cs%7C%5E2%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%7Cs%7C%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%5Cright)%5En%2B%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%5Cright)%5En%5Cright)$

应用等比数列的无限和 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7Dq%5En%3D(1-q)%5E%7B-1%7D$ , 并且假设 $%5Ctau%3C%5Cfrac%7B%7Cm%7C%7D%7B2%5Cmax(%7Cs%7C%2C1)%7D$ , 即 $%5Cmax%5Cleft(%5Cfrac%7B%7Cs%7C%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%2C%5Cfrac%7B%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%5Cright)%3C%5Cfrac12$ , 即有

$%7Cs%7C%5E2%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%7Cs%7C%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%5Cright)%5En%2B%5Csum_%7Bn%5Cgeq0%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Ctau%7D%7B%7Cm%7C%7D%5Cright)%5En%3C2%5Cleft(%7Cs%7C%5E2%2B1%5Cright)$

那么

$%5Cleft%7C%5Csum_%7Bm%5Cne0%7De%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cleft((m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%5Cright)%5Cright%7C%3C%5Csum_%7Bm%5Cne0%7D2%7Cm%7C%5E%7B-%5Csigma-2%7D%5Ctau%5E2%5Cleft(%7Cs%7C%5E2%2B1%5Cright)$

$%3D4%5Ctau%5E2%5Cleft(%7Cs%7C%5E2%2B1%5Cright)%5Csum_%7Bm%5Cgeq1%7D%7Cm%7C%5E%7B-%5Csigma-2%7D%3D4%5Ctau%5E2%5Cleft(%7Cs%7C%5E2%2B1%5Cright)%5Czeta(%5Csigma%2B2)%3C%5Cinfty$

当 τ→0+ 时, 上式为 0.

定理 2: 在 0 ≤ a < 1 时

$e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2Ca)%2Be%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2C-a)$

可以解析延拓至 Re(s) > -1, 并且在 -1 < Re(s) < 0 时 Hurwitz 函数方程成立.

证明: 因为当 m = 0 时有 $%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7B(m%2Bi%5Ctau)%5Es%7D%3D(i%5Ctau)%5E%7B-s%7D$ , 所以对于 Re(τ) > 0有

$%5Csum_%7Bm%5Cne0%7De%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cleft((m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%5Cright)%2B(i%5Ctau)%5E%7B-s%7D$

$%3D%5Csum_m%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7B(m%2Bi%5Ctau)%5Es%7D-%5Csum_%7Bm%5Cne0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7Bm%5Es%7D%2Bi%5Ctau%20s%5Csum_%7Bm%5Cne0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7Bm%5E%7Bs%2B1%7D%7D$

对上式第一个求和应用定理 1, 并且右边两个求和都可以使用周期 ζ 表示 $%5Csum_%7Bm%5Cne0%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7Bm%5Es%7D%3D%5Csum_%7Bm%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7Bm%5Es%7D%2B%5Csum_%7Bm%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20i(-m)a%7D%7D%7B(-m)%5Es%7D%3D%5Csum_%7Bm%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%7D%7Bm%5Es%7D%2B(-1)%5Es%5Csum_%7Bm%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20im(-a)%7D%7D%7Bm%5Es%7D$ , -1 = exp(πi), 得

$%3D%5Cfrac%7B(-2%5Cpi%20i)%5Es%7D%7B%5CGamma(s)%7D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D-%5Cleft(F(s%2Ca)%2Be%5E%7B%5Cpi%20is%7DF(s%2C-a)%5Cright)%2Bi%5Ctau%20s%5Cleft(F(s%2B1%2Ca)-e%5E%7B%5Cpi%20is%7DF(s%2B1%2C-a)%5Cright)$

根据引理 2, $%5Csum_%7Bm%5Cne0%7De%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cleft((m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%5Cright)$ 定义在 Re(s) > -1 上; $(i%5Ctau)%5E%7B-s%7D$ 定义在除了 s = 0 的整个复平面上; $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D$ 对于 s 定义整个复平面上, 那么剩下与周期 ζ 相关的部分也可以在 Re(s) > -1, s ≠ 0 上定义.

当取 τ → 0+, 根据引理 2 $%5Csum_%7Bm%5Cne0%7De%5E%7B2%5Cpi%20ima%7D%5Cleft((m%2Bi%5Ctau)%5E%7B-s%7D-m%5E%7B-s%7D%2Bi%5Ctau%20sm%5E%7B-s-1%7D%5Cright)%20%3D%200$ , 以及 $(i%5Ctau)%5E%7B-s%7D%3D0$ , 并应用引理 1, 在 -1 < Re(s) < 0 时有

$%5Cfrac%7B(-2%5Cpi%20i)%5Es%7D%7B%5CGamma(s)%7D%5Czeta(1-s%2C1-a)-%5Cleft(F(s%2Ca)%2Be%5E%7B%5Cpi%20is%7DF(s%2C-a)%5Cright)%3D0$

并且 -i = exp(-πi/2), 使用 1-a 替换 a 得到

$%5Czeta(1-s%2Ca)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(2%5Cpi)%5Es%7D%5Cleft(e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2C1-a)%2Be%5E%7B%5Cfrac%7B3%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2Ca-1)%5Cright)$

因为 exp 的周期为 2πi, 所以周期 ζ 对于 a 的周期为 1, 那么得到 Hurwitz 函数方程:

$%5Czeta(1-s%2Ca)%3D%5Cfrac%7B%5CGamma(s)%7D%7B(2%5Cpi)%5Es%7D%5Cleft(e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2C-a)%2Be%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7DF(s%2Ca)%5Cright)$

原论文里还剩下有几个推论, 下面展示一下就摸了:

1. $F(0%2C-a)%2BF(0%2Ca)%3D-1$

2. 对于 0 < a ≤ 1, Hurwitz ζ 在除了 s = 1 的整个复平面上全纯, 并且在 s = 1 有一阶极点. (通过 Hurwitz 函数方程可得)

3. 对于在整个复平面上的 s 有

$F(s%2Ca)%3D%5Cfrac%7B(2%5Cpi)%5Es%7D%7B2i%5Csin(%5Cpi%20s)%5CGamma(s)%7D%5Cleft(e%5E%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7D%5Czeta(1-s%2Ca)-e%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20is%7D2%7D%5Czeta(1-s%2C1-a)%5Cright)$

(也是通过 Hurwitz 函数方程)

4. 对于非整数 a, 周期 ζ 对于 s 是整函数.

个人来说感觉这个证明还有不完整的地方, 比如 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7Be%5E%7B-2%5Cpi%5Ctau(n-a)%7D%7D%7B(n-a)%5E%7B1-s%7D%7D$ , 在定理 2 的证明里说这个东西关于 s 定义在整个复平面上, 对于这个问题, 通过画图试验了一些数字是成立的, 但毕竟不是严格证明, 虽然可能证明这个东西的收敛性应该也不能, 但是摸了.

另外还有定理 1 里使用复数替换积分变量这一步 (积分遇到复数要小心), 下面说明成立的原因: 首先因为使用了 Poisson 求和, 所以 $%5Cfrac%7Be%5E%7B2%5Cpi%20it(m%2Bi%5Ctau)%7D%7D%7Bt%5E%7B1-s%7D%7D$ 也是一个 L¹ 函数, 那么对这个函数沿着以下路径的积分等于 0, 其中红色路径是半径为 r 的圆弧,