复旦大学谢启鸿老师高等代数在线习题课思考题题分析与解 ep.12

2021-08-24 10:15 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在本站高等代数习题课的课后思考题，本文仅供学习交流

本人解题水平有限，可能会有错误，恳请斧正！

Remark:

练习题1 决赛填空题依旧外强中干，我们可以通过先计算这个二阶矩阵的低次幂找到规律之后再进行运算，不过可能需要对 $a%E5%92%8Cc$ 的正负性或者相对正负性去分类讨论

练习题2 本题运用 $A%2CB%2CA%2BB$ 都是幂等阵的条件，可以得到 $AB%2BBA%3D0$ ，于是只需要证明 $AB%3DBA$ 即可，那么由幂等阵的性质，可以左右乘上A，则我们得到的两个式子就是非常类似的，根据等量代换，就能立刻得到结果

练习题3 本题的 $J$ 是一个非常特别的矩阵，与它相乘相当于计算每行或者每列的和，那么发现这一点之后就不难解决这个问题

练习题4 本题如果注意到 $%5Cgamma$ 虽然不唯一，但是线性无关的 $%5Cgamma$ 个数应该有上限，于是可以构造出一个 $n$ 阶非异方阵，那么用两边右乘以逆矩阵的方法很快得到 $A$

练习题7 这道题的难点主要是如何想到构造这样的分块矩阵去用数学归纳法证明，使用数学归纳法的话由 $A%5Cgamma%3D%5C%20a%5Cgamma$ 以及对角线元素互异可以得到 $%5Cgamma%3D0$ ,这个有不只一种方法，但最简单易懂的应该是利用上三角阵的性质直接乘，然后倒着解方程组，就能很快解决.除此之外应该还有其他的办法，比方说考虑 $B$ 的左下角元素，然后依次往右，到右下角后考虑 $B$ 的 $(n-1%2C1)$ 元素，以此类推，它们应该都是零，也可以证明 $B$ 是一个上三角阵