就 视频 BV1aR4y1c7Ff 命题 之 个人证法 飨以诸君
有
sin(A/2)=r/√(2Rr)
即
cos(A/2)=√(2Rr-r²)/√(2Rr)
即
sinA=√(2Rr-r²)/R
即
a=2√(2Rr-r²)
且
R=abc/(4S)
r=2S/(a+b+c)
即
a²
=
4(2Rr-r²)
=
4abc/(a+b+c)
-
16S²/(a+b+c)²
=
4abc-(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
/
a+b+c
=
4abc-(c²-(a-b)²)(a+b-c)
/
a+b+c
=
4abc-ac²-bc²+c³+(a²-b²)(a-b)-c(a-b)²
/
a+b+c
=
4abc-ac²-bc²+c³+a³-a²b-ab²+b³-a²c+2abc-b²c
/
a+b+c
=
6abc-ac²-bc²+c³+a³-a²b-ab²+b³-a²c-b²c
/
a+b+c
即
6abc-ac²-bc²+c³+a³-a²b-ab²+b³-a²c-b²c
=
a³+a²b+a²c
即
6abc-ac²-bc²+c³-2a²b-ab²+b³-2a²c-b²c=0
即
(b+c)((b-c)²-2a²)-a((b-c)²-4bc)=0
设
b+c=ka
有
ka((ka-2c)²-2a²)-a((ka-2c)²-4(ka-c)c)=0
即
(k-1)a(ka-2c)²-2ka³+4ka²c-4ac²=0
即
(k-1)(ka-2c)²-2ka²+4kac-4c²=0
即
(k-1)(k²a²-4kac+4c²)-2ka²+4kac-4c²=0
即
k(k²-k-2)a²+(2-k)4kac+(k-2)4c²=0
即
k(k-2)(k+1)a²-(k-2)4kac+(k-2)4c²=0
即
(k-2)(k(k+1)a²-4kac+4c²)=0
且
k＞0
a，c≠0
即
k=2
即
b+c=2a
即
AB+AC=2BC
得证
