本来我想直接讲不定积分的，但是想想我应该先讲积分的基本性质和微积分基本定理才好理解补丁积分的。内容比较少，而且比较好理解（前提你必须懂得定积分得相关知识）

第一节 反函数的积分

假设你要求函数y=f(x)=√x在区间[0,2]的积分，但是这个积分非比寻常，这个积分是以y=√2，y轴和函数f(x)所围成的面积（图中用S表示）

请思考一下，这样表示这个积分正确吗？

注意，这是错误的！为什么？

你发现没有，在这里实际上是对y积分的？（之前我们遇到的都是对x积分）

所以我们应该改成这样：

又因为y=√x,所以x=y^2

且在y轴上的区间为[0, √2]

因此，上面的表达式可以换成

这样我们又可以根据老套路求积分了

（懒得算了，方法还是一样的）

于是我们总结：

什么意思呢？我们用刚刚的例子解释：

y=√x的反函数就是x=y^2（即y=x^2）

也就是

那么

又因为

所以积分就是

至于怎么求这个积分，嘛你们去求吧（老方法）

第二节 积分的平均值定理（即为中值定理）

1. 定理
   

2. 应用：

求函数

在区间[-2,2]上的平均值

解：分析函数表达式，我们会发现这是个以坐标原点为圆心，半径为2的半圆，且区间[-2,2]包含了它的图像

所以我们可以计算它的积分，就是半圆的面积，即

因此平均值为：

微积分定理我会单独来讲（因为比较重要）