【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第四章因式分解 

§4-5二次三项式x²＋px＋q的因式分解法

【01】在乘法公式里，我们知道，形如 (x＋a)(x＋b) 的积是 x 的二次三项式，就是 

        (x＋a)(x＋b)＝(x＋a)x＋(x＋a)b＝x²＋ax＋bx＋ab＝x²＋(a＋b)x＋ab  。

【02】把上面的演算过程反过来就可以得到

        x²＋(a＋b)x＋ab＝x²＋ax＋bx＋ab＝x(x＋a)＋b(x＋a)＝(x＋a)(x＋b)  。

【03】这就告诉我们：对于最高次项的系数是 1 的二次三项式，如果它的常数项能够分解成两个因数，使它们的代数和恰巧等于 x 的系数，那末就可以把它分解成两个一次因式。

        x²＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)（其中p＝a＋b，q＝ab）。

例1.分解 x²＋6x＋8 的因式。

【分析】因为常数项 8 是个正数，所以把它分解成两个因数时这两个因数应当同号，又因为 x 的系数是正数，所以要把常数项分解成两个正的因数。8 有两种方法分解成两个正因数：8＝1×8，这时 1＋8＝9 ≠ 6；8＝2×4，这时 2＋4＝6  。由此可以知道，只需把 8 分解成 2×4  。

【解】x²＋6x＋8＝x²＋(2＋4)x＋2×4＝x²＋2x＋4x＋2×4＝x(x＋2)＋4(x＋2)＝(x＋2)(x＋4)  。

【注】在实际解题时，我们可以把上面演算中的中间步骤省去，直接写出结果，就是x²＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4)  。

【04】这个例子告诉我们，二次三项式 x²＋px＋q 中如果 p 和 q 都是正数，应当把 q 分解成两个正因数。

例2.分解因式：(1) x²＋7x＋12；(2) x²＋12x＋20  。

【解】

(1) ∵ 12＝3×4，而 3＋4＝7，∴ x²＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)  。

(2) ∵ 20＝2×10，而 2＋10＝12，∴ x²＋12x＋20＝(x＋2)(x＋10)  。

例3.分解因式：x²－8＋15  。

【分析】这里常数项是正数，但是一次项的系数是负数，所以要把常数项拆成两个负数的积，才能使它们的和等于一个负数。因为 15＝(－3)(－5) 而 (－3)＋(－5)＝－8，所以令 a＝－3，b＝－5 就可以分解因式。

【解】x²－8＋15＝x²＋[(－3)＋（－5)]x＋(－3)(－5)＝[x＋(－3)][x＋(－5)]＝(x－3)(x－5)  。

【05】这个例子告诉我们，二次三项式 x²＋px＋q 中，如果 p 是负数，q 是正数，应当把 q 分解成两个负的因数。  

例4.分解因式：(1) x²－31x＋30；(2) x²－8x＋12  。

【解】

(1) ∵ 30＝(－1)(－30)，而 (－1)＋(－30)＝－31，∴ x²－31x＋30＝(x－1)(x－30)  。

(2) ∵ 12＝(－2)(－6)，而 (－2)＋(－6)＝－8，∴ x²－8x＋12＝(x－2)(x－6)  。

例5.分解因式：x²y²＋3xy＋2  。

【分析】把原式写成 (xy)²＋3(xy)＋2，就看出它可用上面的方法来分解因式。

【解】∵ 2＝1×2，而 1＋2＝3，∴ x²y²＋3xy＋2＝(xy＋1)(xy＋2)  。

例6.分解因式：x²－19xy＋90y²  。

【分析】这个三项式中，每一项都是关于字母 x 和 y 的二次项，并且它是按照 x 的降幂顺序同时又是按照 y 的升幂顺序排列着的.。它也可以仿照例1的解法来分解因式。

【解】

∵ 90＝(－9)(－10)，而 (－9)＋(－10)＝－19，

∴ x²－19xy＋90y²＝x²－9xy－10xy＋90y²＝x(x－9y)－10y(x－9y)＝(x－9y)(x－10y)  。

【注1】这种三项式，叫做 x，y 的二次齐次三项式。熟练以后，也可以省去中间步骤，直接写出结果，但是要注意分解得到的两个一次因式，每一项中都要含有字母。

【注2】也可以把原式看成 x²－19xy＋90y²，于是现在要找 a,b，使得 ab＝90y²，a＋b＝－19y  。从后一式看出，a,b 一定是同类项，因此只要确定它们的系数就可以了。

习题4-5(1)

分解下列因式(1~16)：

分解下列因式，到不能再分解为止(17~20)：

【答案】

例7.分解因式：x²－3x－10  。

【分析】这里常数项是负数，把它分解成两个因数时这两个因数应当有相反的符号.但是 x 的系数是负数，所以这两个因数中，负的因数的绝对值应较大。

【解】∵ －10＝(－5)×2 而 (－5)＋2＝－3，∴ x²－3x－10＝[x＋(－5)](x＋2)＝(x－5)(x＋2)  。

例8.分解因式：a²＋9a－10  。

【分析】这里常数项是负数，a 的系数是正数，因此要把 －10 分解成符号相反的两个因数，并且正的因数的绝对值应较大。

【解】∵－10＝(－1)×10，而－1＋10＝9，∴ a²＋9a－10＝[a＋(－1)](a＋10)＝(a－1)(a＋10)  。

【06】例7和例8告诉我们，如果二次三项式 x²＋px＋q 中 q 是负数，那末 q 的两个因数应该一正一负，并且，当

        p 是正数时，正的因数的绝对值要较大；

        p 是负数时，负的因数的绝对值要较大  。

例9.分解 a⁴－21a²－100 的因式。

【分析】把原式写成 (a²)²－21(a²)－100，它仍旧是二次三项式的形式，所以可用上面的方法，只是要把原来的 x 代换成 a²  。

【解】∵ －100＝(－25)×4，而 (－25)＋4＝－21，∴ a⁴－21a²－100＝(a²－25)(a²＋4)＝(a－5)(a＋5)(a²＋4)  。

【注意】a²－25 还能分解因式，要再分下去。

例10.分解 a³－5a²b－300ab² 的因式。

【分析】先把公因式 a 提出，得另一因式是 a²－5ab－300b²  。这里－300＝(－20)×15，而(－20）＋15＝－5  。它可以用二次三项式的因式分解法来分解。

【解】a³－5a²b－300ab²＝a(a²－5ab－300b²)＝a(a－20b)(a＋15b)  。

【注意】在每一括号的第二项中，不要忘掉写字母 b。

习题4-5(2)

分解因式：

【答案】