2023数分每日一题学习感悟-Day52(函数列与函数项级数7：柯西准则）

一、华南理工

1、要求证明可导与一致连续

证明可导思路：首先要说明级数一致收敛，结合函数列连续，从而连续；再说明导数一致收敛，从而可导。

证明一致连续思路：利用一致连续定义，用上lagrange中值定理，因此考虑到导数，利用导数有界，说明一致收敛。

2、证明反常积分发散

思路：要说明反常积分发散，利用放缩证收敛，Cauchy证发散，考虑利用Cauchy准则；同时这里注意到分母由于有2^k,所以取的区间为[2^(k-1),2^k]

二、中国人大

要证明一致收敛，我们利用函数列-极限函数的上确界的极限是否趋于0来证，重点关注t与x之间的关系，关注到t^n趋于0.这里还需要注意到利用积分的分段以及积分与绝对值的关系，进行放缩操作。

特别注意点：

1. 对于这里δ趋于0+与f（x）连续是不可以忽视的，感受到这里M=max|f(x)|作用。

2. 利用到两边夹逼都趋于0，使得这个积分极限趋于0.利用函数列-极限函数的绝对值小于这个积分，所以函数列-极限函数的绝对值的上确界也小于0的思路。