光速过一下微积分
就如标题一样，我在写各种内容的时候发现不讲一下微积分真的讲不下去，这里就简单过一下微积分的概念和定义，如果各位有兴趣的话可以在站内搜索类似于“初中生也能听懂的微积分”，“ 十五分钟讲完微积分”之类的视频，笔者也不是数学专业出身，就不过多献丑了。
微积分（calculus），这个词根来源于拉丁语calx，本意是小石头，类似的还有单词calcium（元素钙，也是个经常可以在石头里找到的元素），而这个单词也可以指你身体里产生的小石头，不管是你牙齿上的细菌代谢产物牙菌斑，还是在你的肾里结晶出的结石，也是calculus这个单词（值得一提的是，微积分的两位独立的父亲，牛顿和莱布尼茨，生前都患有calculus，分别是膀胱和肾脏）。正如它的名字来源，小石子便是微积分的指导思想。这个小石子就是无穷小。无穷小是一个概念而不是一个具体的量，就比如点的长度是无穷小，那点的长度到底是多少？是无穷小。那能不能说点的长度是0？不能，因为点的长度是无穷小。那两个点的长度拼在一起是不是两倍无穷小？还是无穷小。那一万个点在一起是不就不是无穷小了？它还是无穷小。那多少个无穷小才不是无穷小呢？无穷个无穷小才不是无穷小。那如果无穷小个无穷小和无穷小谁更小？它们是一样的，但是无穷小个无穷小比无穷小变小的速度更快。
所以看出来了吗，无穷小其实是个非常耍流氓的概念，而积分就是让一堆无穷小从它耍流氓的领域里拽出来，让它们老老实实和现实世界交互的手段（当然这是当年牛爵爷时代的事情，把无穷小和积分搞得正常一点还要再等两百年后的勒贝格出手，不过笔者不是学数学的，对于绝大部分工程应用来说牛顿和莱布尼茨的成果就已经够用了，这里就不展开了）。
举个直观例子：
下面这个函数描述了一个物体移动速度随时间的变化：
可以从图像中读出，这个物体以3米每秒的速度前进了10秒，总移动距离就是
这个关系在图像上就表示为线段下方的面积：
那么对于速度随着时间线性增大的物体，其移动距离也是一样的求法：
如果想要用积分的思路求得这个物体的总共的移动距离，那么问题就是这样的：
从图像可知速度与时间的关系是
以更数学的表达方式来写的话，就是：
这个等式表示了对于随时间变化的速度v来说，它的数值等于t。
我们也知道移动距离与速度和时间的关系是：
对于三角形的面积，这里使用小长方形来进行趋近：
那么对于这种思考方式来说，这个三角性的面积就等于：
而每个小长方形的面积都等于高（速度v）乘宽（时间t），长方形的高是v，而v=t，所以长方形的高就可以写成t，当然你应该可以一眼看出用这两个长方形来计算三角形面积的问题——误差太大了，这两个面积的和明显比三角形的面积大。
这个误差可以通过减小长方形的宽来解决。
可以看出随着小长方形们的宽度逐渐变小，误差也越来越小，直到与原函数一摸一样。
这就到无穷小量出手的时候了，我们直接假设小长方形们的宽无穷小，一般使用d来表示无穷小量，d也被叫作微分算子，微分概念后文会讲。
所以小长方形的宽是dt，而高是t，一个小长方形的面积就可以写作：
而积分符号∫来源自单词sum的首字母s，表示求和，对这个运动的距离就写作：
而运动从第零秒持续到第十秒，零和十便是这个积分的上下限：
这张图囊括了大部分常见函数的积分：
至于是怎么来的后面微分部分会讲。
当然有的同学会说这不是纯纯没事找事，三角形面积直接底乘高除二就行了，这么麻烦干什么。这是因为积分一开始是用来找曲线所围的面积的。
比如：
对于这个函数来说，如何求它第一个正半周期的所围的面积呢？
当然你可以选择使用一种比较阿基米德的办法，用三角形填满这一个圆弧。
阿基米德在当年发现对于任意圆弧都可以用这种方法使用相似三角形填满圆弧内的面积，使用这种方法可以很简单（并不）地求出sin（x）函数第一个正半周期的面积：
其中a是sin（x）的振幅。
对于一个sin（x）还好说，那么下面这个呢？
如果你对傅里叶有所了解的话，一眼就能看出（并不）这个函数其实是：
那么你只需要把这个图形画出来，算出每个分量的面积，并搞清楚是加起来还是减掉就可以不使用积分很轻松地算出它的面积了。
当然你也可以对自己好一点选择用积分求出它从弧度0到的面积：
对了，必须要提的是，积分算出来的面积是有正负的，x轴上下的面积是会抵消的。
积分概念到这里就差不多说清楚了，一句话总结就是积分是把一大坨复杂的东西拆成简单的一堆小块块再拼起来的思路，至于很多计算方面的细节是熟悉的人不想再听一遍，不熟悉的人讲了也只是一头雾水，这里就略过了。然后积分还有各种神奇的变种，比如：
下面来到微分。
可能大家很好奇既然叫微积分为什么不从微分先讲起，其实是因为积分这个概念比微分先出现。但神奇的是积分公式又是从微分公式推出来的，某种意义上达成了奇怪的循环论证。与积分这个将一堆小石子堆在一起的概念相反，微分则是从整体中抠出每一个小石子。
回到上面的那个三角形：
我们可以看到速度是随时间变化的，而速度变化的程度与时间又是什么关系呢？
取一段时间，和这段时间内速度的变化，这个关系可以写成：
可能大家对斜率这个名字更加熟悉，其实两个概念是差不多的。对一个函数微分得到这个函数的导数，也就是斜率。
当这个时间变化（delta t)接近无穷小的时候，就出现了微分公式：
Lim表示极限，向右的箭头表示趋近于，0是趋近的值，所以 表示当趋近于零（也就是无穷小的时候），这个式子值是多少。当然上面那一大堆就是微分公式，如果使用f（x）来表示任意连续可导函数的话，微分公式就是：
只要代入对应的函数就可以求得该函数的导数。在经过这一系列运算之后得到的式子就是这个函数的积分表达式，当然也不一定每次得到的都是一个常数，比如函数y = x2它的导数2x就带着一个未知量x。这是因为对于这个函数来说，它的斜率随着x的数值变化而变化，只有代入具体的x数值才可以知道这个函数在具体的点上的斜率。
当然可能还有人听说过可导一定连续，连续不一定可导之类的话，这是因为微分公式是有应用界限的，比如下面这个阶跃函数：
这个函数在x=0这个点分成了两段，让其成为了一个不连续的函数，因此这个函数就无法直接套用微分公式。相同的，积分公式也只能应用在连续的函数上。当然也不是只要是连续函数就可以导或者积，比如下面这个函数虽然连续，但在x=0这个点不可导：
上面是一些常见的函数的导数。
如同上文介绍的一样，积分是把一个个小石头组合起来，而微分是把每块小石头从整体之中扣出来，这两者互为对方的逆运算，就如同加和减，乘和除一样，所以对于y=x^n来说，它的积分就是：
C表示一个常数，因为微分时常数都会被消除掉，比如：
将得到的导数积回去：
这里我们知道c=b，C其实算一个补丁，将积分计算变得更完备。
照例来点小例题：
