化圆为方的低阶版——“化多为方“

众所周知，由于π是一个超越数，即不是任意一个有限项有理系数多项式方程的解，也就无法得到，进而否定了尺规作图化圆为方的的可能性

注：π是

的解，但由于这是个拥有无限项的多项式，故不能证明π是代数数

但，虽然化圆为方无法做到，我们却能做到化圆为方的低阶版——“化多为方”，即对于任意一个多边形（不论是凸多边形或凹多边形），我们都能将其用尺规作图转化为面积与之一致的正方形

首先，对于任一多边形，显然可以将其划分为若干个三角形

其次，对于其中一个ΔABC，作出与AB平行的中位线B'A'，过C作B'A'的垂线交B'A'与点H，将ΔABC分解为梯形AB'A'B；ΔB'HC和ΔA'HC，而由于B'A'是ΔABC的中位线，我们可以重新拼接这三部分成与原三角形面积一致的长方形（如图）

然后，令现长方形的长宽分别为a,b，则其面积为ab，要作出对应的正方形，即作出长度为的线段，其作法如下图所示：

其中曲线是以AB为直径的圆，CD⊥AB

容易知道：

ΔACD∽ΔCBH

既有：

交差相乘得到：

即：

截至目前，我们已经将原多边形转化为了若干个边长为h_1,h_2,...,h_n的正方形，接下来就需要将这若干正方形合并为一个大正方形，这步所需要的操作只是反复使用勾股定理，即通过构造直角三角形，将正方形两两合并，最终得到与原多边形面积相同的正方形