陶哲轩实分析笔记（摆烂）

呃呃呃，今天什么都没干呢。。 3.4涉及概念是象和幂集公理，主要讨论集合的集合，都挺有意思的，题目也没想象中的难。一定不要学我，一定要认真写习题阿。。

3.4.2

和

3.4.5

消去律的描述。拿f(f⁻¹(U))作为例子。 首先你要确定这个结果是什么集合。 比如这里，f⁻¹说明完成了一个Y子集到X子集的映射。 接着又有外面一层f让X子集映射回Y上了。所以结果就是Y的子集。 了解了这一层才好想象是怎样的过程，还有设变量。比如这里应该设y属于f(f⁻¹(S))，设x证起来就很难受。 接着在脑内产生直观。根据书中的描述，产生前象好像要比产生逆象“更窄”一点。联系证明的描述，和满射有关……你可以画画图，用线段表示集合。然后就明白自己实际上在证什么了。 具体证明就是展开，加一点反证。 这个结论是优美的，而且也符合直观(如果你愿意多了解了解定义，建立直观):集合逆象的前象包含于原集合，两者相等当且仅当函数满射；集合前象的逆象包含原集合，两者相等当且仅当函数单射。如果函数双射，则直接有通用的消去律(像

3.4.1

)

3.4.3

和

3.4.4

分配律。和上面的思路差不多。也能够看出来逆象某方面“更优秀”的性质。

3.4.6

和

3.4.7

关于幂集公理。首先啦，对于幂集公理的认识我是从幂集的概念出发的。一开始对于这个定义还是有些困惑。但是完成了

3.4.6

，我便被这个巧妙的构思折服了。你可以从一些具体的例子出发了解这个公理的内容，进而明白这个并不复杂然而很精巧的证法。它很好的沟通起了旧公理和新公理。 偏函数的证明纯利用幂集公理的思想。首先利用上面证的搞出所有子集，然后利用幂集公理搞出每个子集对应中的所有函数。这里要用到替代公理将它们练习起来。同时注意这个时候，我们得到的是幂集的集合，得利用并集公理把它们拆成函数的集合。

3.4.8

到

3.4.11

3.4.8

说明新并集公理以更深刻的内涵毁灭了过去的并集公理的不可证明性，就好像替代公理之于分类公理一样。此后就该划分出几等命题:公理，“公理”，定理，不常用的知识。我到时候盘点一下。

3.4.9

说明了交集的定义是合理的。

3.4.10

和

3.4.11

给出了类似布尔代数的式子。以后也可盘点一下，当然，是用手写。 就这样