【数学基础33】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 混合积：向量a与b的外积，再与向量c作内积，结果是一个数量，称为三向量依顺序a，b，c的混合积，记为（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；

2. 混合积性质：

   a.当a，b，c组成右手系时，（a，b，c）>0；

   b.当a，b，c组成左手系时，（a，b，c）<0；

3. 几何意义：（a，b，c）是以a，b，c为邻边的平行六面体的体积；

4. 性质：

   a.（a，a，c）=0；

   b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；

   c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；

   d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是实数）。

5. 矩阵乘法运算律——
   

   a.结合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

   e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

6. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

7. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

8. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

9. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

10. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

11. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

12. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

13. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

14. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试求下述数列{an}的敛散性：an+1=a1（1-an-bn）+an，bn+1=b1（1-an-bn）+bn（0<a1，b1<1）.

解：记cn=an+bn，an+1=a1（1-an-bn）+an=a1（1-cn）+an=a1-a1cn+an，bn+1=b1-b1cn+bn——

1. cn+1

   =an+1+bn+1

   =[a1（1-an-bn）+an]+[b1（1-an-bn）+bn]

   =（a1+b1）（1-an-bn）+（an+bn）

   =c1（1-cn）+cn

   =（1-c1）cn+c1；

2. cn+1-1

   =（1-c1）cn-1+c1；

   =（cn-1）（1-c1）

   =（c1-1）（1-c1）^n

   =-（1-c1）^（n+1）

3. cn=1-（1-c1）^n；

4. an+1=a1-a1cn+an，

   an+1-an=a1-a1cn=a1-a1[1-（1-c1）^n]=a1（1-c1）^n；

5. an-an-1=a1（1-c1）^（n-1）；

6. an

   =an-1+a1（1-c1）^（n-1）

   =an-2+a1（1-c1）^（n-2）+a1（1-c1）^（n-1）

   =a1+……+a1（1-c1）^（n-2）+a1（1-c1）^（n-1）

   =a1[1-（1-c1）^n]/[1-（1-c1）]

   =a1[1-（1-c1）^n]/c1；

7. bn

   =cn-an

   =[1-（1-c1）^n]-a1[1-（1-c1）^n]/c1

   =b1[1-（1-c1）^n]/c1；

8. 0<a1，b1<1，则0<a1+b1<2，-1<1-c1<1；

9. lim an=lim a1[1-（1-c1）^n]/c1=a1/c1=a1/（a1+b1），

   同理，lim bn=b1/（a1+b1）。

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

三向量a，b，c共面的充要条件是（a，b，c）=0.

证：

必要性——

1. 设a，b，c共面，当a，b，c中有一个为零或有两个共线时，显然有（a，b，c）=0；

2. 当a，b，c非零且无两向量共线时，由a，b，c共面得：a=λb+μc，于是——

   （a，b，c）=（λb+μc，b，c）=λ（b，b，c）+μ（c，b，c）=0。

充分性——

1. 设（a，b，c）=（axb）c=0；

2. 情形一：axb=0，得到a=0，或b=0，或a//b，则a，b，c共面；

3. 情形二：c=0，则a，b，c共面；

4. 情形三：（axb）⊥c，由外积定义（axb）⊥a，（axb）⊥b，则a，b，c共面.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：如果矩阵A可逆，那么A*也可逆；并且求（A*）^（-1）.

证：

1. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1），则AA*=A|A|A^（-1）=|A|E；

2. [（1/|A|）A]A*=E，从而A*可逆，（A*）^（-1）=（1/|A|）A.

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