【数学基础47】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）
预备知识：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
双重向量积：给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所得向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一个双重向量积；
性质：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
矩阵乘法运算律——
a.结合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A
e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。
矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。
矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；
设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A
方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）
矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。
定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反/斜对称矩阵。
定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。
矩阵转置运算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
参考资料：
《数学分析习题演练》（周民强 编著）
《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）
《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）
数学分析——
例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——
设a1+a2+a3=0，试论lim In（In=a1n^（1/2）+a2（n+1）^（1/2）+a3（n+2）^（1/2））.
解：
a1+a2+a3=0，则a1=-a2-a3；
In
=a1n^（1/2）+a2（n+1）^（1/2）+a3（n+2）^（1/2）
=（-a2-a3）n^（1/2）+a2（n+1）^（1/2）+a3（n+2）^（1/2）
=a2[（n+1）^（1/2）-n^（1/2）]+a3[（n+2）^（1/2）-n^（1/2）]
=a2/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]+2a3/[（n+2）^（1/2）+n^（1/2）]；
lim In
=lim a2/[（n+1）^（1/2）+n^（1/2）]+lim 2a3/[（n+2）^（1/2）+n^（1/2）]
=0.
解析几何——
例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——
已知axb+bxc+cxa=0，求证a，b，c共面.
证：
等式两边同时与c作内积得：
（axb+bxc+cxa）c
=（a，b，c）+（b，c，c）+（c，a，c）
=（a，b，c）=0，所以，a，b，c共面。
高等代数——
例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——
证明：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'
证：A'（A^（-1））'=（A^（-1）A）'=E'=E，因此A'可逆，且（A'）^（-1）=（A^（-1））。
到这里！
