2023新高考Ⅰ卷数学逐题解析（5）
封面：由崎司（《总之就是非常可爱》）
18. 如图，在正四棱柱中，
，
，点
，
，
，
分别在棱
，
，
，
上，
，
，
.
（1）证明：；
（2）点在
上，当二面角
为
时，求
.
答案 （1）见解析；
（2）1
解析 本题考察空间中线与线的位置关系和二面角，属于中档题.
（1）以为原点，
为
轴正方向，
为
轴正方向，
为
轴正方向，建立空间直角坐标系.
，
，
，
.
.
所以.
由于与
不重合，所以
.
（2）设.
，
，
.
设平面的法向量为
.
，可取
.
设平面的法向量为
.
，可取
.
得
即 .
即 .
所以.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
.
答案 （1）见解析；
（2）见解析.
解析 本题考察函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，属于中档题.
（1）.
若，
在
上单调递减；
若，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当时，
，
.
设
.
.
.
所以
.
所以当时，
.
